쌍곡선 접선의 수직

쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$의 점근선의 방정식 $\displaystyle y = \pm \frac{b}{a} x$에서 한 점근선의 방정식이 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$이므로 양수 $a$, $b$에 대해 $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{2}$, $a = 2 b$ 따라서 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4 b ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$과 직선 $y = 1$의 교점은 방정식 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4 b ^{2}} - \frac{1 ^{2}}{b ^{2}} = 1$, 즉 $x ^{2} = 4 b ^{2} + 4$에서 $\displaystyle x = 2 \sqrt{b ^{2} + 1}$ 또는 $\displaystyle x = - 2 \sqrt{b ^{2} + 1}$ 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( 2 \sqrt{b ^{2} + 1} , 1 \right)}$, $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( - 2 \sqrt{b ^{2} + 1} , 1 \right)}$ 라 하면 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4 b ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서의 접선의 방정식은 각각 $\displaystyle \frac{2 \left( \sqrt{b ^{2} + 1} \right) x}{4 b ^{2}} - \frac{y}{b ^{2}} = 1$, $\displaystyle y = {\frac{\sqrt{b ^{2} + 1}}{2} x - b ^{2}}$ $\displaystyle \frac{- 2 \left( \sqrt{b ^{2} + 1} \right) x}{4 b ^{2}} - \frac{y}{b ^{2}} = 1$, $\displaystyle y = - {\frac{\sqrt{b ^{2} + 1}}{2} x - b ^{2}}$ 두 접선이 서로 수직이므로 기울기의 곱은 $- 1$이다. $\displaystyle \left( {\frac{\sqrt{b ^{2} + 1}}{2} ) \times \left( - {\frac{\sqrt{b ^{2} + 1}}{2} ) = - 1} \right.} \right.$ $b ^{2} + 1 = 4$, $b ^{2} = 3$ $a = 2 b$에서 $a ^{2} = 4 b ^{2} = 4 \times 3 = 12$ $\therefore$ $a ^{2} + b ^{2} = 12 + 3 = 15$