쌍곡선 접선 점근선

쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$위의 점 $( x _{1} , y _{1} )$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x _{1} x}{a ^{2}} - \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$ ⋯⋯ ㉠ 점근선의 방정식은 $\displaystyle y = \pm \frac{b}{a} x$ ⋯⋯ ㉡ ㉡을 제곱하여 정리하면 $a ^{2} y ^{2} = b ^{2} x ^{2}$ ⋯⋯ ㉢ ㉠에서 $\displaystyle y = \frac{( x _{1} x - a ^{2} ) b ^{2}}{a ^{2} y _{1}}$이고 이것을 ㉢에 대입하면 $\displaystyle \frac{( x _{1} x - a ^{2} ) ^{2} b ^{4}}{a ^{2} y _{1} ^{2}} = b ^{2} x ^{2}$ 즉, $( b ^{2} x _{1} ^{2} - a ^{2} y _{1} ^{2} ) x ^{2} - ( 2 a ^{2} b ^{2} x _{1} ) x + a ^{4} b ^{4} = 0$ ⋯⋯ ㉣ 그런데 $( x _{1} , y _{1} )$은 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$위의 점이므로 $\displaystyle \frac{x _{1} ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{1} ^{2}}{b ^{2}} = 1$에서 $x _{1} ^{2} b ^{2} + y _{1} ^{2} a ^{2} = a ^{2} b ^{2}$이므로 ㉣은 $x ^{2} - 2 x _{1} x + a ^{2} b ^{2} = 0$ 근과 계수와의 관계에서 위 방정식의 두 근의 합은 $2 x _{1}$으로 일정하다. 따라서 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$위의 점 ${\mathrm{P}} ( x _{1} , y _{1} )$에서 그은 접선이 두 점근선과 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$에서 만날 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}$의 중점은 점 $\mathrm{P}$가 된다. 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = 2 \overline{PQ}$