기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선 자취 점근선

문제

좌표평면에서 그림과 같이 직선 x=2x = 2 위를 움직이는 점 A\mathrm{A}에 대하여 선분 OA\mathrm{OA}가 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1과 만나는 점을 B\mathrm{B}라 하자. 평면 위의 점 P\mathrm{P}가 다음 조건을 모두 만족시키며 움직이면 점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형은 어떤 쌍곡선의 일부가 된다. x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1

(가) AP‾=2AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 2 \overline{AB} (나) 직선 AP\mathrm{AP}는 직선 x=2x = 2와 수직이다. (다) 점 P\mathrm{P}의 xx좌표는 22보다 크다.

이때, 이 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 점근선의 방정식은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점]

①y=13x\displaystyle y = \frac{1}{3} x②y=23x\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{3} x③y=33x\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3} x④y=12x\displaystyle y = \frac{1}{2} x⑤y=22x\displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{2} x

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④

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해설

동경을 θ\theta로 두면, AO=2cos⁡θ\displaystyle AO = \frac{2}{\cos \theta} ∴AB=2cos⁡θ−1\displaystyle \therefore AB = \frac{2}{\cos \theta} - 1, AP‾=2AB‾\displaystyle \overline{AP} = 2 \overline{AB}이므로 P의 xx좌표는 2+2(2cos⁡θ−1)=4cos⁡θ\displaystyle 2 + 2 ( \frac{2}{\cos \theta} - 1 ) = \frac{4}{\cos \theta}가 된다. 또한, yy좌표는 2tanθ\theta이다. 즉, x=4cos⁡θ,y=2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle x = \frac{4}{\cos \theta} , y = \frac{2 \sin \theta}{\cos \theta} 쌍곡선의 방정식 꼴을 만들기 위해서 분모에 cos이 있고 분자에 sin이 있으니 1-sin⁡2\sin ^{2} 꼴을 만들어 약분되게 한다. 즉, x2=16cos⁡θ,y2=4sin⁡2θcos⁡2θ\displaystyle x ^{2} = \frac{16}{\cos \theta} , y ^{2} = \frac{4 \sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} ∴x2−4y2=16\therefore x ^{2} - 4 y ^{2} = 16 , x216−y24=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{4} = 1

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#쌍곡선#자취#점근선

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