쌍곡선 교점 자취 초점

직선 $\mathrm{A} C$와 $\mathrm{B} D$의 교점 $\mathrm{P} ( x , y )$라 두자. $4 t ^{2} - 9 s ^{2} = 36 \cdots \cdots \cdots \text{①}$ 직선$\mathrm{A} C$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{s}{t + 3} ( x + 3 )$에서 $( t + 3 ) y = s ( x + 3 ) \cdots \cdots \cdots \text{ ②}$ 직선$\mathrm{B} D$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{- s}{t - 3} ( x - 3 )$ $( t - 3 ) y = - s ( x - 3 ) \cdots \cdots \cdots \text{ ③}$ ②, ③을 연립하면 $s = \frac{3 y}{x} , t = \frac{9}{x} \cdots \cdots \text{ ④}$ 단, $\displaystyle t = \frac{9}{x} > 3$에서 $x < 3$ ④를 ①식에 대입하면 $\displaystyle 4 \times \left( \frac{9}{x} \right) ^{2} - 9 \times \left( \frac{3 y}{x} \right) ^{2} = 36$ $36 x ^{2} + 81 y ^{2} = 4 \times 81$ 그러므로 점$\mathrm{P}$의 자취는 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{3 ^{2}} + \frac{y ^{2}}{2 ^{2}} = 1$인 타원의 일부이다. 그러므로 초점은 $c ^{2} = 3 ^{2} - 2 ^{2} = 5$에서 $\displaystyle c = \pm \sqrt{5}$이므로 두 초점간의 거리는 $\displaystyle \therefore 2 \sqrt{5}$