쌍곡선 거리 최소

[출제의도] 쌍곡선의 방정식을 활용하여 추론하기 쌍곡선의 주축의 길이가 $6$이므로 $a ^{2} = 9$ 점 $\mathrm{P}$가 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} - {\overline{\mathrm{PF}}} = 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}} = {\overline{\mathrm{PQ}}} + \left( {\overline{\mathrm{PF}}} + 6 \right)$$\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{PF}}} \right) + 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{PF}}}$는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 선분 $\mathrm{AF}$ 위의 점일 때 최소이다.

그림과 같이 선분 $\mathrm{AF}$가 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$과 원 $C$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}'$, $\mathrm{Q}'$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}}$$\displaystyle \geq \left( {\overline{\mathrm{P}' Q'}} + {\overline{\mathrm{P}' F}} \right) + 6$$\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{AF}}} - 1 \right) + 6$ $\displaystyle = \sqrt{c ^{2} + 25} + 5$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}}$의 최솟값이 $12$이므로 $\displaystyle \sqrt{c ^{2} + 25} + 5 = 12$ $c ^{2} = 24$ $\therefore$ $b ^{2} = c ^{2} - a ^{2} = 24 - 9 = 15$ 따라서 $a ^{2} + 3 b ^{2} = 9 + 3 \times 15 = 54$