소수가 되는 함숫값

[출제의도] 이차방정식과 집합의 연산을 이용하여 교집합의 원소의 개수를 구한다. 집합 $A$의 원소는 $20$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $f ( n ) = ( n ^{2} - 7 n + 11 ) ( n ^{2} + 3 n + 3 )$ 이고 집합 $B$의 원소가 $100$ 이하의 소수이므로 집합 $A \cap B$의 원소는 $f ( n ) = ( n ^{2} - 7 n + 11 ) ( n ^{2} + 3 n + 3 )$ 중에서 $100$이하의 소수이다. 집합 $A \cap B$의 원소는 두 수 $n ^{2} - 7 n + 11$, $n ^{2} + 3 n + 3$ 의 곱으로 나타낼 수 있고, $n ^{2} + 3 n + 3$이 $1$보다 큰 자연수이므로 $n ^{2} - 7 n + 11 = 1$, $n ^{2} + 3 n + 3 = p$($p$는 소수) 가 되어야 한다. $n ^{2} - 7 n + 11 = 1$ $n ^{2} - 7 n + 10 = 0$ $( n - 2 ) ( n - 5 ) = 0$ $n = 2$ 또는 $n = 5$ (ⅰ) $n = 2$일 때, $f ( 2 ) = 1 \times ( 2 ^{2} + 3 \times 2 + 3 )$$= 13$ (ⅱ) $n = 5$일 때, $f ( 5 ) = 1 \times ( 5 ^{2} + 3 \times 5 + 3 ) = 43$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $13$과 $43$이 모두 $100$이하의 소수이므로 $A \cap B = \left\{ 13 , 43 \right\}$ 따라서 $n ( A \cap B ) = 2$