공통수학1여러 가지 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

실수해가 오직 하나인 조건

문제

x,yx , y에 대한 방정식 x2+y2−4x+2y+k=0x ^{2} + y ^{2} - 4 x + 2 y + k = 0 을 만족시키는 실수 x,yx , y의 순서쌍 (x,y)( x , y )가 오직 하나 존재할 때, 실수 kk의 값과 그 순서쌍 (x,y)( x , y )에 대하여 k+x+yk + x + y의 값을 구하시오. [4점]

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해설

주어진 식을 완전제곱식으로 고치면 (x−2)2+(y+1)2=5−k( x - 2 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = 5 - k x,yx , y가 실수이므로 좌변은 00 이상이다. 5−k<05 - k < 0이면 실수 x,yx , y는 존재하지 않고, 5−k>05 - k > 0이면 실수 순서쌍 (x,y)( x , y )는 무수히 많다. 순서쌍이 오직 하나 존재하려면 5−k=05 - k = 0, 즉 k=5k = 5 이때 (x−2)2+(y+1)2=0( x - 2 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = 0에서 x=2,y=−1x = 2 , y = - 1 따라서 k+x+y=5+2−1=6k + x + y = 5 + 2 - 1 = 6

태그

#부정방정식#완전제곱식#실수 조건#해의 존재

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