공통수학1여러 가지 방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

실수해가 존재할 조건과 최솟값

문제

x,yx , y에 대한 방정식 x2+y2+2ax−4y+13=0x ^{2} + y ^{2} + 2 ax - 4 y + 13 = 0 을 만족시키는 실수 x,yx , y가 존재하도록 하는 양수 aa의 최솟값을 mm이라 하자. a=ma = m일 때의 실수 x,yx , y에 대하여 x+y+mx + y + m의 값을 구하시오. [4점]

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해설

주어진 식을 x,yx , y에 대하여 각각 완전제곱식으로 고치면 (x+a)2+(y−2)2=a2−9( x + a ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = a ^{2} - 9 x,yx , y가 실수이므로 좌변은 00 이상이다. 실수 x,yx , y가 존재하려면 a2−9≥0a ^{2} - 9 \geq 0, 즉 a≤−3a \leq - 3 또는 a≥3a \geq 3 aa는 양수이므로 a≥3a \geq 3이고, 최솟값은 m=3m = 3 a=3a = 3일 때 (x+3)2+(y−2)2=0( x + 3 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 0이므로 x=−3,y=2x = - 3 , y = 2 따라서 x+y+m=−3+2+3=2x + y + m = - 3 + 2 + 3 = 2

태그

#부정방정식#완전제곱식#실수 조건#해의 존재

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