실수 조건과 z^4의 실수부분

$z = a + bi$ ($a$, $b$는 실수, $b \ne 0$)라 하면 $\displaystyle z + \frac{4}{z} = \left( a + \frac{4 a}{a ^{2} + b ^{2}} \right) + b \left( 1 - \frac{4}{a ^{2} + b ^{2}} \right) i$ 이 값이 실수이고 $b \ne 0$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 4$ ㉠ $z ^{2} = ( a ^{2} - b ^{2} ) + 2 abi$의 실수부분이 $- 2$이므로 $a ^{2} - b ^{2} = - 2$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a ^{2} = 1$, $b ^{2} = 3$ $z ^{4} = \left( z ^{2} \right) ^{2} = ( - 2 + 2 abi ) ^{2} = 4 - 4 a ^{2} b ^{2} - 8 abi$ $a ^{2} b ^{2} = 3$이므로 $z ^{4}$의 실수부분은 $4 - 12 = - 8$ 따라서 답은 ①이다.