공통수학1이차방정식AI기본 문제 (3점 중반)

실근 조건에서 a=b 증명 빈칸

문제

다음은 실수 aa, bb에 대하여 xx에 대한 이차방정식 x2−2(a+b)x+2(a2+b2)=0x ^{2} - 2 ( a + b ) x + 2 ( a ^{2} + b ^{2} ) = 0 이 실근을 가지면 a=ba = b임을 증명한 것이다.

(증명) 이 이차방정식의 판별식을 DD라 하면 D4=(a+b)2−2(a2+b2)=\displaystyle \frac{D}{4} = ( a + b ) ^{2} - 2 ( a ^{2} + b ^{2} ) = (가) 실근을 가지므로 D≥0D \geq 0이고, 실수 aa, bb에 대하여 (가) ≤0\leq 0이므로 D=0D = 0이다. 따라서 (a−b)2=0( a - b ) ^{2} = 0이므로 a=ba = b이다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 식을 f(a,b)f ( a , b )라 할 때, f(3,1)f ( 3 , 1 )의 값을 구하시오. [3점]

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-4

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해설

D4=(a+b)2−2(a2+b2)\displaystyle \frac{D}{4} = ( a + b ) ^{2} - 2 ( a ^{2} + b ^{2} ) =a2+2ab+b2−2a2−2b2= a ^{2} + 2 ab + b ^{2} - 2 a ^{2} - 2 b ^{2} =−a2+2ab−b2= - a ^{2} + 2 ab - b ^{2} =−(a−b)2= - ( a - b ) ^{2} 실수 aa, bb에 대하여 −(a−b)2≤0- ( a - b ) ^{2} \leq 0이고 D≥0D \geq 0이어야 하므로 D=0D = 0, 즉 a=ba = b이다. 따라서 f(a,b)=−(a−b)2f ( a , b ) = - ( a - b ) ^{2}이므로 f(3,1)=−(3−1)2=−4f ( 3 , 1 ) = - ( 3 - 1 ) ^{2} = - 4

태그

#판별식#실근 조건#완전제곱식#증명 빈칸

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