대수지수함수와 로그함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

실근 개수 함수의 극한

문제

두 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 함수 $f ( x )$ 는 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 2 ^{x + a} & & ( x \leq 0 ) \\ ( x + b ) ^{2} & & ( x > 0 ) \end{cases}}$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $f ( x ) = t$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g ( t )$ 라 할 때, 함수 $g ( t )$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k -} {} g \left( t \right) \ne \lim\limits _{t \rightarrow k +} {} g \left( t \right)$ 와 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 k -} {} g \left( t \right) \ne \lim\limits _{t \rightarrow 2 k +} {} g \left( t \right)$ 를 모두 만족시키는 양수 $k$ 가 존재한다.

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 2$ 가 되도록 하는 두 실수 $a$ , $b$ 의 순서쌍 $( a , b )$ 에 대하여 $a + b$ 의 최댓값과 최솟값의 곱은? [4점] ① $\mathrm{-} 11$ ② $\mathrm{-} 10$ ③ $\mathrm{-} 9$ ④ $\mathrm{-} 8$ ⑤ $\mathrm{-} 7$

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③

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해설

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 2$ 를 만족시키는 경우는 $2 ^{a} = 16$ 또는 $b ^{2} = 16$ (ⅰ) $2 ^{a} = 16$ , $b ^{2} = 8$ 인 경우 ① $a = 4$ , $\displaystyle b = - 2 \sqrt{2}$ 인 경우

$k = 8$ , $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 2 \times 1 = 2$ 이므로 조건을 만족시킨다. ② $a = 4$ , $\displaystyle b = 2 \sqrt{2}$ 인 경우

$k = 8$ , $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 2 \times 1 = 2$ 이므로 조건을 만족시킨다. (ⅱ) $2 ^{a} = 16$ , $b ^{2} = 16$ 인 경우 ① $a = 4$ , $b = - 4$ 인 경우

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 3 \times 1 = 3 \ne 2$ 이므로 조건을 만족시키지 않는다. ② $a = 4$ , $b = 4$ 인 경우

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 1 \times 1 = 1 \ne 2$ 이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $2 ^{a} = 16$ , $b ^{2} = 32$ 인 경우 ① $a = 4$ , $\displaystyle b = - 4 \sqrt{2}$ 인 경우

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 3 \times 2 = 6 \ne 2$ 이므로 조건을 만족시키지 않는다. ② $a = 4$ , $\displaystyle b = 4 \sqrt{2}$ 인 경우

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 1 \times 0 = 0 \ne 2$ 이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅳ) $2 ^{a} = 8$ , $b ^{2} = 16$ 인 경우 ① $a = 3$ , $b = - 4$ 인 경우

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 0 \times 1 = 0 \ne 2$ 이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅴ) $2 ^{a} = 32$ , $b ^{2} = 16$ 인 경우 ① $a = 5$ , $b = - 4$ 인 경우

$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 3 \times 2 = 6 \ne 2$ 이므로 조건을 만족시키지 않는다. ② $a = 5$ , $b = 4$ 인 경우

$k = 16$ , $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 16 -} {} g \left( t \right) \times \lim\limits _{t \rightarrow 16 +} {} g \left( t \right) = 1 \times 2 = 2$ 이므로 조건을 만족시킨다. (ⅰ) $\sim$ (ⅴ)에 의하여 두 실수 $a$ , $b$ 의 순서쌍은 $\displaystyle \left( 4 , - 2 \sqrt{2} \right)$ , $\displaystyle \left( 4 , 2 \sqrt{2} \right)$ , $\left( 3 , - 4 \right)$ , $\left( 5 , 4 \right)$ 이고 $a + b$ 의 값은 $\displaystyle 4 - 2 \sqrt{2}$ , $\displaystyle 4 + 2 \sqrt{2}$ , $- 1$ , $9$ 이므로 최댓값과 최솟값의 곱은 $9 \times \left( - 1 \right) = - 9$

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