공통수학1다항식의 연산AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

세제곱의 합의 인수분해 등식 증명

문제

다음은 세 실수 aa, bb, cc에 대하여 등식 a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a ^{3} + b ^{3} + c ^{3} - 3 abc = ( a + b + c ) ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - bc - ca ) 가 성립함을 보이는 과정이다.

a3+b3=(a+b)3−a ^{3} + b ^{3} = ( a + b ) ^{3} - (가) 이므로 a3+b3+c3−3abca ^{3} + b ^{3} + c ^{3} - 3 abc =(a+b)3+c3−= ( a + b ) ^{3} + c ^{3} - (가) −3abc- 3 abc =(a+b)3+c3−3ab(a+b+c)= ( a + b ) ^{3} + c ^{3} - 3 ab ( a + b + c ) =(a+b+c)(= ( a + b + c ) ( (나) )−3ab(a+b+c)) - 3 ab ( a + b + c ) =(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)= ( a + b + c ) ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - bc - ca )

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(a,b)f ( a , b ), g(a,b,c)g ( a , b , c )라 할 때, f(1,2)+g(1,2,3)f ( 1 , 2 ) + g ( 1 , 2 , 3 )의 값을 구하시오. [4점]

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해설

(a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3( a + b ) ^{3} = a ^{3} + 3 ab ( a + b ) + b ^{3}이므로 a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a ^{3} + b ^{3} = ( a + b ) ^{3} - 3 ab ( a + b ) 그러므로 (가)는 3ab(a+b)3 ab ( a + b )이고, f(1,2)=3×2×3=18f ( 1 , 2 ) = 3 \times 2 \times 3 = 18 (a+b)3+c3=(a+b+c){(a+b)2−(a+b)c+c2}( a + b ) ^{3} + c ^{3} = ( a + b + c ) \left\{ ( a + b ) ^{2} - ( a + b ) c + c ^{2} \right\}이므로 (나)는 (a+b)2−(a+b)c+c2( a + b ) ^{2} - ( a + b ) c + c ^{2}, 즉 a2+2ab+b2−ca−bc+c2a ^{2} + 2 ab + b ^{2} - ca - bc + c ^{2} g(1,2,3)=9−9+9=9g ( 1 , 2 , 3 ) = 9 - 9 + 9 = 9 실제로 (a+b)2−(a+b)c+c2−3ab=a2+b2+c2−ab−bc−ca( a + b ) ^{2} - ( a + b ) c + c ^{2} - 3 ab = a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - bc - ca가 되어 등식이 성립한다. 따라서 f(1,2)+g(1,2,3)=18+9=27f ( 1 , 2 ) + g ( 1 , 2 , 3 ) = 18 + 9 = 27

태그

#빈칸 추론#증명#세제곱 공식#인수분해 등식

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