세제곱합 정수해 과정

[출제의도] 고차방정식의 해 구하는 과정 이해하기 $x ^{3} + y ^{3} = 91$의 좌변을 인수분해하면 $( x + y ) ( x ^{2} - xy + y ^{2} ) = 91 \cdots \cdots \text{㉠}$ 이 때, $x ^{2} - xy + y ^{2}$$\displaystyle = x ^{2} - xy + \frac{1}{4} y ^{2} + \frac{3}{4} y ^{2}$ $\displaystyle = \left( x - \frac{y}{2} \right) ^{2} + {\left( {\frac{}{}} \right)} y ^{2} > 0$ $\displaystyle \frac{3}{4}$

$\text{㉠}$에서 $x + y$는 $91$의 양의 약수이다. $\cdots \cdots \text{㉡}$ $x + y = k$라 놓으면 $\text{㉠}$에서 $k ( k ^{2} - 3 xy ) = 91$이므로 $\displaystyle xy = \frac{1}{3} \left( k ^{2} - \frac{91}{k} \right)$ 따라서, $x , y$는 이차방정식 $\displaystyle t ^{2} - kt + \frac{1}{3} \left( k ^{2} - \frac{91}{k} \right) = 0$의 두 실근이다. 판별식 $\displaystyle D = k ^{2} - \frac{4}{3} \left( k ^{2} - \frac{91}{k} \right) \geq 0$ $3 k ^{2} - 4 k ^{2} + 4 \times 91 \geq 0$ $k ^{3} \leq ($ $) \times 91$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ 주어진 조건과 $\text{㉡} , \text{㉢}$을 만족하는 $k$의 값은 $($ $)$이다.