세 삼각형의 넓이의 비로 점 찾기

실마리: 직선 $\mathrm{OQ}$가 변 $\mathrm{AB}$와 만나는 점 $\mathrm{P}$를 잡으면 넓이의 비가 선분의 비로 바뀐다. 두 삼각형 $\mathrm{QOA}$, $\mathrm{QOB}$는 변 $\mathrm{OQ}$를 공유하므로 넓이의 비는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 직선 $\mathrm{OP}$까지의 거리의 비와 같고, 이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}}$와 같다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = 1 : 2$이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이다. $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1 \times 6 + 2 \times 12}{3} , \frac{1 \times 12 + 2 \times 0}{3} \right)$, 즉 $\mathrm{P} ( 10 , 4 )$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72$이고 삼각형 $\mathrm{QAB}$의 넓이는 $\displaystyle 72 \times \frac{3}{1 + 2 + 3} = 36$이다. 두 삼각형 $\mathrm{QAB}$, $\mathrm{OAB}$는 변 $\mathrm{AB}$를 공유하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}} : \overline{\mathrm{OP}} = 36 : 72 = 1 : 2$ 즉, 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{OP}$의 중점이므로 $\mathrm{Q} ( 5 , 2 )$ (검산: 삼각형 $\mathrm{QOA}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times 2 = 12 = \frac{1}{6} \times 72$로 조건과 맞는다.) 따라서 $a + b = 5 + 2 = 7$