세 내분점이 만드는 삼각형의 넓이

실마리: 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 세 귀퉁이 삼각형 $\mathrm{ARQ}$, $\mathrm{BPR}$, $\mathrm{CQP}$를 빼면 삼각형 $\mathrm{PQR}$가 남는다. 두 점 $\mathrm{B} ( - 1 , - 1 )$, $\mathrm{C} ( 7 , 1 )$을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{1 - ( - 1 )}{7 - ( - 1 )} \frac{= 1}{4}$ 이므로 직선 $\mathrm{BC}$의 방정식은 $x - 4 y - 3 = 0$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{8 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{17}$ 점 $\mathrm{A} ( 2 , 5 )$와 직선 $x - 4 y - 3 = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| 2 - 20 - 3 |}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}}} = \frac{21}{\sqrt{17}}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{17} \times \frac{21}{\sqrt{17}} = 21$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}} : \overline{\mathrm{AB}} = 2 : 3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} : \overline{\mathrm{AC}} = 1 : 3$ 이고 각 $\mathrm{A}$가 공통이므로 삼각형 $\mathrm{ARQ}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ 배이다. 같은 방법으로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} : \overline{\mathrm{BC}} = 2 : 3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BR}} : \overline{\mathrm{BA}} = 1 : 3$ 이므로 삼각형 $\mathrm{BPR}$의 넓이도 $\displaystyle \frac{2}{9}$ 배이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}} : \overline{\mathrm{CA}} = 2 : 3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}} : \overline{\mathrm{CB}} = 1 : 3$ 이므로 삼각형 $\mathrm{CQP}$의 넓이도 $\displaystyle \frac{2}{9}$ 배이다. 세 삼각형의 넓이의 합은 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{2}{9} \times 3 = \frac{2}{3}$ 배이므로 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이는 $\displaystyle \left( 1 - \frac{2}{3} \right) \times 21 = 7$ 따라서 구하는 넓이는 $7$ 이다.