세 중선의 교점 증명과 길이

(가) 점 $\mathrm{D}$는 변 $\mathrm{BC}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{x _{2} + x _{3}}{2} , \frac{y _{2} + y _{3}}{2} \right)$ 선분 $\mathrm{AD}$를 $2 : 1$로 내분하는 점의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{2 \times \frac{x _{2} + x _{3}}{2} + 1 \times x _{1}}{2 + 1} = \frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}$ (나) 점 $\displaystyle \mathrm{E} \left( \frac{x _{3} + x _{1}}{2} , \frac{y _{3} + y _{1}}{2} \right)$에 대하여 선분 $\mathrm{BE}$를 $2 : 1$로 내분하는 점도 같은 계산으로 $\displaystyle \left( \frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3} , \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3} \right)$

$\mathrm{A} ( 6 , 8 )$, $\mathrm{B} ( - 1 , 1 )$, $\mathrm{C} ( 4 , 3 )$에서 $\displaystyle \mathrm{G} \left( \frac{6 + ( - 1 ) + 4}{3} , \frac{8 + 1 + 3}{3} \right) = \mathrm{G} ( 3 , 4 )$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AG}} = \sqrt{( 6 - 3 ) ^{2} + ( 8 - 4 ) ^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$

(검산: 변 $\mathrm{BC}$의 중점은 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{3}{2} , 2 \right)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \sqrt{\frac{81}{4} + 36} = \frac{15}{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AG}} = \frac{2}{3} \overline{\mathrm{AD}} = 5$이다.)