세 집합이 나타내는 도형의 넓이 차

(ⅰ) 집합 $\displaystyle A = \left\{ \left( 2 + 2 \cos \theta , 2 + 2 \sin \theta \right) \left| - \frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3} \right\} \right.$에서 $x = 2 + 2 \cos \theta$, $y = 2 + 2 \sin \theta$라 하면 $x - 2 = 2 \cos \theta$에서 $\left( x - 2 \right) ^{2} = 4 \cos ^{2} \theta$ $\cdots \cdots$ ㉠ $y - 2 = 2 \sin \theta$에서 $\left( y - 2 \right) ^{2} = 4 \sin ^{2} \theta$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠$+$㉡을 하면 $\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 4$$\displaystyle \left( - \frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3} \right)$ (ⅱ) 집합 $\displaystyle B = \left\{ \left( - 2 + 2 \cos \theta , 2 + 2 \sin \theta \right) \left| \frac{2 \pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4 \pi}{3} \right\} \right.$에서 $x = \mathit{-} 2 + 2 \cos \theta$, $y = 2 + 2 \sin \theta$라 하면 $x + 2 = 2 \cos \theta$에서 $\left( x + 2 \right) ^{2} = 4 \cos ^{2} \theta$ $\cdots \cdots$ ㉢ $y - 2 = 2 \sin \theta$에서 $\left( y - 2 \right) ^{2} = 4 \sin ^{2} \theta$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉢$+$㉣을 하면 $\left( x + 2 \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 4$$\displaystyle \left( \frac{2 \pi}{3} \leq \theta \leq \frac{4 \pi}{3} \right)$ (ⅲ) 집합 $\displaystyle C = \left\{ \left( a , b \right) \left| - 3 \leq a \leq 3 , b = 2 \pm \sqrt{3} \right\} \right.$은 $- 3 \leq x \leq 3$에서 직선 $\displaystyle y = 2 + \sqrt{3}$, $\displaystyle y = 2 - \sqrt{3}$ 위의 점의 자취를 의미한다. 이상에서 나타내는 집합을 나타내면 다음 그림과 같다.

따라서 집합 $A \cup B \cup C$의 모든 원소가 나타내는 도형 $X$로 둘러싸인 부분의 넓이 $\alpha$는 $\alpha$$=$$2 \times$(활꼴 $\mathrm{AB}$의 넓이)$+$(사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이) $\displaystyle = 2 \times \left( \frac{1}{2} \cdot 2 ^{2} \cdot \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin \frac{2}{3} \pi \right)$ $\displaystyle + 6 \times \left\{ 2 + \sqrt{3} - ( 2 - \sqrt{3} ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{8 \pi}{3} - 2 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$ $\displaystyle = \frac{8 \pi}{3} + 10 \sqrt{3}$ 도형 $X$와 곡선 $\displaystyle y = \mathit{-} \sqrt{3} x ^{2} + 2$가 만나는 점의 $y$좌표를 $c$라 하면 $\displaystyle c = 2 - \sqrt{3}$ $\displaystyle - \sqrt{3} x ^{2} + 2 = 2 - \sqrt{3}$에서 $x ^{2} = 1$ $\therefore$$x = \mathit{-} 1$또는$x = 1$ 따라서 곡선 $\displaystyle y = - \sqrt{3} x ^{2} + 2$와 직선 $\displaystyle y = 2 - \sqrt{3}$으로 둘러싸인 부분의 넓이 $\beta$는 다음 그림과 같다.

넓이 $\beta =$$\displaystyle \int _{- 1} ^{1} \left\{ ( - \sqrt{3} x ^{2} + 2 ) - ( 2 - \sqrt{3} ) \right\} dx$이므로 $\beta$$\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{3} \int _{- 1} ^{1} {( x ^{2} - 1 ) dx}$ $\displaystyle = \mathit{-} 2 \sqrt{3} \int _{0} ^{1} \left( x ^{2} - 1 \right) dx$ $\displaystyle = \mathit{-} 2 \sqrt{3} \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - x \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \mathit{-} 2 \sqrt{3} \times \left( \frac{1}{3} - 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ $\alpha - \beta$$\displaystyle = \frac{8 \pi}{3} + 10 \sqrt{3}$$\displaystyle - \frac{4}{3} \sqrt{3}$$\displaystyle = \frac{8 \pi}{3} + \frac{26}{3} \sqrt{3}$ 따라서 $p = 8 , q = 26$이므로 $p + q = 8 + 26 = 34$