삼각형 내부 격자점

[출제의도] 수열의 합 문제해결하기 기울기가 $1$이고 $y$절편이 양수인 원 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \frac{n ^{2}}{2}$의 접선의 방정식은 $\displaystyle y = x + \frac{n}{\sqrt{2}} \sqrt{1 + 1 ^{2}}$ $\therefore$ $y = x + n$ 직선 $y = x + n$이 $x$축, $y$축과 만나는 점은 각각 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( - \mathit{n} , 0 \right)$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( 0 , \mathit{n} \right)$이고, 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$을 지나고 기울기가 $- 2$인 직선의 방정식은 $y = - 2 x - 2 n$이므로 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \left( 0 , - 2 \mathit{n} \right)$ 삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}$과 그 내부의 점들 중 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수 $a _{n}$은 $n = 1$일 때, $x$좌표가 $0$인 점의 개수는 $4$, $x$좌표가 $- 1$인 점의 개수는 $1$ 이므로 $a _{1} = 1 + 4 = 5$ $n = 2$일 때, $x$좌표가 $0$인 점의 개수는 $7$, $x$좌표가 $- 1$인 점의 개수는 $4$, $x$좌표가 $- 2$인 점의 개수는 $1$ 이므로 $a _{2} = 1 + 4 + 7 = 12$ $n = 3$일 때, $x$좌표가 $0$인 점의 개수는 $10$, $x$좌표가 $- 1$인 점의 개수는 $7$, $x$좌표가 $- 2$인 점의 개수는 $4$, $x$좌표가 $- 3$인 점의 개수는 $1$ 이므로 $a _{3} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22$ $\vdots$ $\therefore$ $a _{n} = 1 + \left\{ 4 + 7 + 10 + \cdots + ( 3 n + 1 ) \right\}$ $\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 3 k + 1 \right) = \frac{3}{2} n ^{2} + \frac{5}{2} n + 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( \frac{3}{2} n ^{2} + \frac{5}{2} n + 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + \frac{5}{2} \times \frac{10 \times 11}{2} + 1 \times 10$ $= 725$