삼각형 각 등차 등비

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 내각의 크기이므로 $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ $\cdots$ ㉠ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $\displaystyle \beta = \frac{\alpha + \gamma}{2}$, $\alpha + \gamma = 2 \beta$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $3 \beta = \pi$, $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle \alpha + \gamma = \frac{2 \pi}{3}$에서 $\displaystyle \cos ( \alpha + \gamma ) = \cos \frac{2 \pi}{3} = - \frac{1}{2}$ $\displaystyle \cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \sin \gamma = - \frac{1}{2}$ $\cdots$ ㉢ $\cos \alpha$, $2 \cos \beta$, $8 \cos \gamma$가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $( 2 \cos \beta ) ^{2} = 8 \cos \alpha \cos \gamma$ $\displaystyle \cos \alpha \cos \gamma = \frac{1}{8}$ $\cdots$ ㉣ ㉢, ㉣에서 $\displaystyle \sin \alpha \sin \gamma = \frac{5}{8}$ $\cdots$ ㉤ 따라서 $\displaystyle \tan \alpha \tan \gamma = \frac{\sin \alpha \sin \gamma}{\cos \alpha \cos \gamma} = 5$