삼각함수로 된 유리식의 최댓값

$\cos x = X , \sin x = Y$라 하면 $- 1 \leq X \leq 1 , 0 \leq Y \leq 1$이고, $\cos ^{2} x + \sin ^{2} x = 1$ 이므로 $X ^{2} + Y ^{2} = 1 ( - 1 \leq X \leq 1 , 0 \leq Y \leq 1 )$ $\cdots ( \text{ㄴ} )$ 주어진 함수는 $\displaystyle y = \frac{Y - 1}{X - 3}$ 이므로 $y$는 원 위의 점 $\left( X , Y \right)$와 $\left( 3 , 1 \right)$을 잇는 직선의 기울기이다.

그래프에서 $y$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. [다른풀이] 주어진 식을 미분하면 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{\cos x \cdot ( \cos x - 3 ) - ( \sin x - 1 ) \cdot ( - \sin x )}{( \cos x - 3 ) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{1 - ( \sin x + 3 \cos x )}{( \cos x - 3 ) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{1 - \sqrt{10} \sin ( x + \alpha )}{( \cos x - 3 ) ^{2}}$ (단, $\displaystyle \sin \alpha = \frac{3 \sqrt{10}}{10} , \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$) $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$일 때, $\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$이므로 $\displaystyle f' \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$이 고 극소가 된다. $x = 0$일 때, $\displaystyle f ( 0 ) = \frac{1}{2}$ $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$일 때, $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ $x = \pi$일 때, $\displaystyle f ( \pi ) = \frac{1}{4}$ 따라서, 폐구간 $[ 0 , \pi ]$에서 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{1}{2}$을 갖는다.