대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각함수 식의 최솟값

문제

다음은 0<θ<2π0 < \theta < 2 \pi에서 3+2sin⁡2θ+13−2cos⁡2θ\displaystyle 3 + 2 \sin ^{2} \theta + \frac{1}{3 - 2 \cos ^{2} \theta}의 최솟값을 구하는 과정이다.

3+2sin⁡2θ=t3 + 2 \sin ^{2} \theta = t로 놓으면 3+2sin⁡2θ+13−2cos⁡2θ=t+1□(가)\displaystyle 3 + 2 \sin ^{2} \theta + \frac{1}{3 - 2 \cos ^{2} \theta} = t + \frac{1}{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{가} ) _{{} _{}}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} 이다. 0<θ<2π0 < \theta < 2 \pi에서 t≥3t \geq 3이므로 □(가){\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{가} ) _{{} _{}}}}>0> 0이다. t+1□(가)=t−2+1□(가)+2≥4\displaystyle t + \frac{1}{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{가} ) _{{} _{}}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} = t - 2 + \frac{1}{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{가} ) _{{} _{}}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} + 2 \geq 4 이다. (단, 등호는 t=t =□(나){\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{나} ) _{{} _{}}}}일 때 성립한다.) 따라서 3+2sin⁡2θ+13−2cos⁡2θ\displaystyle 3 + 2 \sin ^{2} \theta + \frac{1}{3 - 2 \cos ^{2} \theta}은 θ=\theta =□(다){\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} ( \text{다} ) _{{} _{}}}}에서 최솟값 44를 갖는다.

위의 (가)에 알맞은 식을 f(t)f ( t ), (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq라 할 때, f(p)+tan⁡2(q+π3)\displaystyle f \left( p \right) + \tan ^{2} \left( q + \frac{\pi}{3} \right)의 값은? [4점] ①44②55③66④77⑤88

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①

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해설

[출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 추론하기 3+2sin⁡2θ=t3 + 2 \sin ^{2} \theta = t로 놓으면 3+2sin⁡2θ+13−2cos⁡2θ=t+1□t−2\displaystyle 3 + 2 \sin ^{2} \theta + \frac{1}{3 - 2 \cos ^{2} \theta} = t + \frac{1}{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} t - 2 _{{} _{}}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} 이다. 0<θ<2π0 < \theta < 2 \pi에서 t≥3t \geq 3이므로 □t−2{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} t - 2 _{{} _{}}}}>0> 0이다. t+1□t−2=t−2+1□t−2+2≥4\displaystyle t + \frac{1}{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} t - 2 _{{} _{}}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} = t - 2 + \frac{1}{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} t - 2 _{{} _{}}}} ^{{} ^{{} ^{}}}} + 2 \geq 4 이다. (단, 등호는 t−2=1t−2\displaystyle t - 2 = \frac{1}{t - 2}에서 t=t =□3{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} 3 _{{} _{}}}}일 때 성립한다.) 따라서 3+2sin⁡2θ=t=33 + 2 \sin ^{2} \theta = t = 3일 때 θ=\theta =□π{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} \pi _{{} _{}}}}이고, 이때 3+2sin⁡2θ+13−2cos⁡2θ\displaystyle 3 + 2 \sin ^{2} \theta + \frac{1}{3 - 2 \cos ^{2} \theta}은 최솟값 44를 갖는다. f(t)=t−2f ( t ) = t - 2, p=3p = 3, q=πq = \pi이므로 f(p)+tan⁡2(q+π3)=f(3)+tan⁡2(π+π3)=1+3=4\displaystyle \begin{aligned} f ( p ) + \tan ^{2} \left( q + \frac{\pi}{3} \right) & = f ( 3 ) + \tan ^{2} \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) = 1 + 3 = 4 \end{aligned} 이다.

태그

#삼각함수#산술평균과 기하평균#빈칸 추론

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