삼각함수 합성과 삼차함수

$f ( x )$가 극댓값을 갖는 $x$의 값을 $a$, 극솟값을 갖는 $x$의 값을 $b$라 하자. (가)가 성립하려면 $0 < a < b < 1$이어야 하고

$g ( x )$의 그래프는 위의 오른쪽 그림과 비슷한 모양이 된다. 조건 (가), (나)를 만족하려면 $\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} = f ( a )$$= f ( 1 )$이고 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$와 $f ( x )$는 서로 접해야 한다. 따라서 $\displaystyle f ( x ) - \frac{1}{2} = ( x - a ) ^{2} ( x - 1 )$ $g ( x )$의 최솟값은 $[ 0 , 1 ]$에서 $f ( x )$의 최솟값과 같다. $f' ( x ) = ( x - a ) ( 3 x - a - 2 )$이므로 $\displaystyle f ( 0 ) = - a ^{2} + \frac{1}{2} = 0$ 이거나 $\displaystyle f \left( \frac{a + 2}{3} \right) = 0$이다. $\displaystyle f \left( \frac{a + 2}{3} \right) = \frac{4 ( a - 1 ) ^{3}}{27} + \frac{1}{2} = 0$에서는 $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$이므로 조건에 맞지 않고 $\displaystyle f ( 0 ) = - a ^{2} + \frac{1}{2} = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{\sqrt{2}}{2}$이면 조건에 맞는다. 따라서 $\displaystyle f ( x ) = \left( x - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{2} ( x - 1 ) + \frac{1}{2}$ $\displaystyle f ( 2 ) = 5 - 2 \sqrt{2}$ 이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 29$