삼각함수 최대 최소

$\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$이므로 $f \left( x \right)$$= 2 \cos ^{2} x + 2 \sin x + k$ $= 2 \left( 1 - \sin ^{2} x \right) + 2 \sin x + k$ $= - 2 \sin ^{2} x + 2 \sin x + 2 + k$ $\sin x = t$라 하면 $- 1 \leq t \leq 1$이고 $y$ $= - 2 t ^{2} + 2 t + 2 + k$ $\displaystyle = - 2 \left( t ^{2} - t + \frac{1}{4} \right) + \frac{5}{2} + k$ $\displaystyle = - 2 \left( t - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{5}{2} + k$ 함수 $\displaystyle y = - 2 \left( t - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{5}{2} + k$는 $\displaystyle t = \frac{1}{2}$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{5}{2} + k$를 갖는다. 따라서 $\displaystyle \frac{5}{2} + k = \frac{15}{2}$, 즉 $k = 5$ 그러므로 함수 $y = - 2 t ^{2} + 2 t + 7$은 $t = - 1$에서 최솟값 $- 2 \times \left( - 1 \right) ^{2} + 2 \times \left( - 1 \right) + 7 = 3$을 갖는다. 즉 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $\mathrm{3}$이다.