삼각부등식의 항상 성립 조건

$\left( a \sin ^{2} x - 4 \right) \cos x + 4$$= \left\{ a ( 1 - \cos ^{2} x ) - 4 \right\} \cos x + 4$ $= - a \cos ^{3} x + ( a - 4 ) \cos x + 4$ $\cos x = t$라 하면 $- 1 \leq t \leq 1$ (준 식)$= - at ^{3} + ( a - 4 ) t + 4$ $= - ( t - 1 ) ( at ^{2} + at + 4 )$ 즉, $- 1 \leq t \leq 1$에서 $- ( t - 1 ) ( at ^{2} + at + 4 ) \geq 0$을 만족하는 $a$의 범위를 구하면 다음과 같다. (ⅰ) $t = 1$일 때, $0 \geq 0$이므로 성립한다. (ⅱ) $- 1 \leq t < 1$일 때, $t - 1 < 0$이므로 $at ^{2} + at + 4 \geq 0$을 만족해야 한다. (1) $a = 0$일 때, $4 \geq 0$이므로 성립한다. (2) $a > 0$일 때, $\displaystyle a \left( t + \frac{1}{2} \right) ^{2} - \frac{1}{4} a + 4 \geq 0$이므로 $\displaystyle t = - \frac{1}{2}$일 때가 최소가 된다. 즉, $\displaystyle - \frac{1}{4} a + 4 \geq 0$이므로 $a \leq 16$ $\therefore$$0 < a \leq 16$ (3) $a < 0$일 때, $\displaystyle a \left( t + \frac{1}{2} \right) ^{2} - \frac{1}{4} a + 4 \geq 0$이므로 $t = 1$일 때가 최소가 된다. 즉, $2 a + 4 \geq 0$이므로 $a \geq - 2$ $\therefore$$- 2 \leq a < 0$ (1), (2), (3)에서 만족하는 $a$의 범위는 $- 2 \leq a \leq 16$ 따라서 실수 $a$의 최댓값은 $16$, 최솟값은 $- 2$이므로 최댓값과 최솟값의 합은 $14$이다.