삼차함수와 접선 넓이

[출제의도] 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다. 구하고자 하는 도형의 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left| f ( x ) - g ( x ) \right| dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} \left\{ g ( x ) - f ( x ) \right\} dx$ $g ( x ) - f ( x )$는 최고차항의 계수가 $3$이고 삼차방정식 $g ( x ) - f ( x )$$= 0$은 한 실근 $0$과 중근 $2$를 가지므로 $g ( x ) - f ( x )$$= 3 x ( x - 2 ) ^{2}$ 따라서 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {3 x ( x - 2 ) ^{2} dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} {( 3 x ^{3} - 12 x ^{2} + 12 x ) dx}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{3}{4} x ^{4} - 4 x ^{3} + 6 x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $= 12 - 32 + 24$$= 4$