삼차함수와 절댓값 적분

조건 (가)에서 $y = f \left( x \right)$와 $y = g \left( x \right)$의 교점을 구하면 $f \left( x \right) = f \left( x \right) + \left| f \left( x \right) - 1 \right|$ $\therefore$$f \left( x \right) = 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 따라서 ㉠을 만족하는 서로 다른 실근의 합이 $3$이다. 문제에서 $f \left( 1 \right) = 1$, $f' \left( 1 \right) = 0$이므로 ㉠은 $x = 1$을 중근으로 가지므로 다른 한 근은 $2$이다. $\therefore$$f \left( x \right) = a \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right) + 1$ 조건 (나)에서 $\displaystyle 0 < \int _{0} ^{n} g \left( x \right) dx - n < 16$, 즉 $\displaystyle 0 < \int _{0} ^{n} \left\{ g \left( x \right) - 1 \right\} dx < 16$ $\cdots \cdots$ ㉠ 을 만족해야 한다. $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} 2 f \left( x \right) - 1 & \left( f \left( x \right) \geq 1 \right) \\ 1 & \left( f \left( x \right) < 1 \right) \end{cases}$에서 $g \left( x \right) - 1$$\displaystyle = \begin{cases} 2 f \left( x \right) - 2 & \left( f \left( x \right) \geq 1 \right) \\ 0 & \left( f \left( x \right) < 1 \right) \end{cases}$ $\displaystyle = \begin{cases} 2 a \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right) & \left( f \left( x \right) \geq 1 \right) \\ 0 & \left( f \left( x \right) < 1 \right) \end{cases}$ 함수 $g \left( x \right) - 1$의 그래프의 개형은 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수의 부호에 따라 다음 두 가지가 가능하다. (ⅰ) $a > 0$일 때

(ⅱ) $a < 0$일 때

(ⅰ)의 경우는 $n = 1$일 때, $\displaystyle \int _{0} ^{n} \left\{ g \left( x \right) - 1 \right\} dx = 0$이므로 ㉠을 만족하지 않는다. (ⅱ)에서 ㉠을 만족하기 위해서는 $n = 2$일 때만 만족하면 되므로 $\displaystyle \int _{0} ^{2} \left\{ g \left( x \right) - 1 \right\} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} 2 a \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right) dx$ $\displaystyle = 2 a \int _{0} ^{2} \left\{ \left( x - 1 \right) ^{3} - \left( x - 1 \right) ^{2} \right\} dx$ $\displaystyle = 2 a \left[ \frac{1}{4} \left( x - 1 \right) ^{4} - \frac{1}{3} \left( x - 1 \right) ^{3} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{4}{3} a$ 따라서 ㉠에서 $\displaystyle 0 < - \frac{4}{3} a < 16$, $- 12 < a < 0$이므로 정수 $a$는 $11$개이고, 함수 $f \left( x \right)$의 개수도 $11$개다.