미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수의 근과 극값

문제

삼차함수 y=f(x)y = f ( x )가 서로 다른 세 실수 a,b,ca , b , c 에 대하여 f(a)=f(b)=0,f′(a)=f′(c)=0f ( a ) = f ( b ) = 0 , f' ( a ) = f' ( c ) = 0 을 만족시킨다. cc를 aa와 bb로 나타내면? [2점] ①a+ba + b②a+b2\displaystyle \frac{a + b}{2}③a+b3\displaystyle \frac{a + b}{3}④a+2b3\displaystyle \frac{a + 2 b}{3}⑤2a+b3\displaystyle \frac{2 a + b}{3}

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④

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해설

f(a)=f′(a)=0f ( a ) = f' ( a ) = 0이고 f(x)f ( x )는 삼차함수이므로 f(x)=(x−a)2(Px+Q)f ( x ) = {( x - a )} ^{2} ( P x + Q )꼴로 나타낼 수 있다. 또한 f(b)=0f ( b ) = 0이므로 Pb+Q=0Pb + Q = 0 ∴Q=−Pb⋯⋯㉠\therefore Q = - Pb \cdots \cdots \text{㉠} 한편 f′(c)=0f' ( c ) = 0이므로 2(c−a)(Pc+Q)+(c−a)2P=02 ( c - a ) ( Pc + Q ) + {( c - a )} ^{2} P = 0 2(Pc+Q)+(c−a)P=0⋯⋯㉡2 ( Pc + Q ) + ( c - a ) P = 0 \cdots \cdots \text{㉡} ㉠을 ㉡에 대입하고 정리하면 P(3c−2b−a)=0P ( 3 c - 2 b - a ) = 0 ∴c=a+2b3\displaystyle \therefore c = \frac{a + 2 b}{3}

태그

#삼차함수#중근#극값

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