삼차함수 넓이 차

[출제의도] 정적분을 이용하여 곡선과 좌표축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이를 구할 수 있는가 $f \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 또는 $x = 3$이므로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 각각 $\left( 2 , 0 \right)$, $\left( 3 , 0 \right)$이다. 이때 ($A$의 넓이)$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} f \left( x \right) dx$, ($B$의 넓이)$\displaystyle = \int _{2} ^{3} {} \left\{ - f \left( x \right) \right\} dx$ 이므로 ($A$의 넓이)$-$($B$의 넓이) $\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} f \left( x \right) dx$$\displaystyle - \int _{2} ^{3} {} \left\{ - f \left( x \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} f \left( x \right) dx + \int _{2} ^{3} {} f \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} f \left( x \right) dx = 3$ 이어야 한다. 이때 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} f \left( x \right) dx$$\displaystyle = k \int _{0} ^{3} {} \left( x ^{3} - 5 x ^{2} + 6 x \right) dx$ $\displaystyle = {k} \left[ \frac{1}{4} x ^{4} - \frac{5}{3} x ^{3} + 3 x ^{2} \right] _{0} ^{3}$$\displaystyle = k \left( \frac{81}{4} - 45 + 27 \right)$$\displaystyle = \frac{9}{4} k$ $\therefore$$\displaystyle \frac{9}{4} k = 3$ $\therefore$$\displaystyle k = \frac{4}{3}$