미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수 조건과 정적분

문제

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f ( 0 ) = 0$ 인 삼차함수 $f ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킨다.


	(가) $f ( 2 ) = f ( 5 )$ (나) 방정식 $f ( x ) - p = 0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 가 되게 하는 실수 $p$ 의 최댓값은 $f ( 2 )$ 이다.

$\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( x ) dx}$ 의 값은? [4점]

① $25$ ② $28$ ③ $31$ ④ $34$ ⑤ $37$

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②

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해설

[출제의도] 함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 조건(가)와 조건(나)를 만족시키는 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프는 그림과 같다.

$f ( x ) - p = ( x - 2 ) ^{2} ( x - 5 )$ $f ( 0 ) = 0$ 이므로 $p = 20$ $f ( x ) = ( x - 2 ) ^{2} ( x - 5 ) + 20$ $= x ^{3} - 9 x ^{2} + 24 x$ $\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( x ) dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left( x ^{3} - 9 x ^{2} + 24 x \right) dx}$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} x ^{4} - 3 x ^{3} + 12 x ^{2} \right] _{0} ^{2} = 28$

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