미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

삼차함수 직선 연결 보기

문제

함수 f(x)=(x−2)3f ( x ) = ( x - 2 ) ^{3}과 두 실수 mm, nn에 대하여 함수 g(x)g ( x )를 g(x)={f(x)(∣x∣<a)mx+n(∣x∣≥a)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} {} ^{} {}^{} f ( x ) {} _{} {}_{} & {} ^{} {}^{} ( \left| x \right| < a ) {} _{} {}_{} \\ {} ^{} {}^{} mx + n {} _{} {}_{} & {} ^{} {}^{} ( \left| x \right| \geq a ) {} _{} {}_{} \end{cases} (a>0a > 0) 이라 하자. 함수 g(x)g ( x )가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. a=1a = 1일 때, m=13m = 13이다. ㄴ. 함수 g(x)g ( x )가 x=ax = a에서 미분가능할 때, m=48m = 48이다. ㄷ. f(a)−2af′(a)>n−maf ( a ) - 2 af' ( a ) > n - ma를 만족시키는 자연수 aa의 개수는 55이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. (−1,−27)( - 1 , - 27 ), (1,−1)( 1 , - 1 )으로부터 m=(−1)−(−27)1−(−1)\displaystyle m = \frac{( - 1 ) - ( - 27 )}{1 - ( - 1 )}=13= 13 ㄱ. ㄴ.

ㄴ. x=ax = a에서의 접선이 점 (−a,(−a−2)3)( - a , ( - a - 2 ) ^{3} )을 지날 때이므로 f′(x)=3(x−2)2f' ( x ) = 3 ( x - 2 ) ^{2}에서 m=f′(a)=3(a−2)3m = f' ( a ) = 3 ( a - 2 ) ^{3} y=3(a−2)2(x−a)+(a−2)3y = 3 ( a - 2 ) ^{2} ( x - a ) + ( a - 2 ) ^{3} 점 (−a,(−a−2)3)( - a , ( - a - 2 ) ^{3} )을 대입하면 −(a+2)3=−6a(a−2)2+(a−2)3- ( a + 2 ) ^{3} = - 6 a ( a - 2 ) ^{2} + ( a - 2 ) ^{3}, 4a3−24a2=04 a ^{3} - 24 a ^{2} = 0, ∴\therefore a=6a = 6 ㄷ. x=ax = a에서 접선은 y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f' ( a ) ( x - a ) + f ( a )이고, x=−ax = - a에서 y=f(a)−2af′(a)y = f ( a ) - 2 a f' ( a )이다. y=mx+ny = mx + n에서는 x=−ax = - a이면 y=n−may = n - ma이다. f(a)−2af′(a)>n−maf ( a ) - 2 a f' ( a ) > n - ma를 만족시키려면 ㄴ의 결과에서 0<a<60 < a < 6이므로 자연수 aa의 개수는 5이다.

태그

#연속#미분가능성#접선#보기

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