미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수 교점 개수

문제

자연수 nn에 대하여 삼차함수 y=n(x3−3x2)+ky = n ( x ^{3} - 3 x ^{2} ) + k의 그래프가 xx축과 만나는 점의 개수가 33이 되도록 하는 정수 kk의 개수를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=110an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}의 값은? [4점] ①195195②200200③205205④210210⑤215215

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④

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해설

n(x3−3x2)+k=0n ( x ^{3} - 3 x ^{2} ) + k = 0 x3−3x2=−kn\displaystyle x ^{3} - 3 x ^{2} = - \frac{k}{n} y=x3−3x2y = x ^{3} - 3 x ^{2}의 그래프는 그림과 같다.

따라서 −4<−kn<0\displaystyle - 4 < - \frac{k}{n} < 0 0<k<4n0 < k < 4 n, an=4n−1a _{n} = 4 n - 1 ∑n=110an=∑n=110(4n−1)=4×55−10=210\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{10} a _{n} = \sum\limits _{n=1} ^{10} ( 4 n - 1 ) = 4 \times 55 - 10 = 210

태그

#삼차함수#극값#실근의 개수

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