공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차함수 값들로부터 P(5) 구하기

문제

삼차함수 P(x)P ( x )에 대하여 P(1)=32,P(2)=43,P(3)=54,P(4)=65\displaystyle P ( 1 ) = \frac{3}{2} , P ( 2 ) = \frac{4}{3} , P ( 3 ) = \frac{5}{4} , P ( 4 ) = \frac{6}{5} 일 때, P(5)P ( 5 )의 값은? ①−1715\displaystyle - \frac{17}{15}②1715\displaystyle \frac{17}{15}③−76\displaystyle - \frac{7}{6}④76\displaystyle \frac{7}{6}⑤1120\displaystyle \frac{1}{120}

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②

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해설

조건으로부터 (x+1)P(x)−(x+2)=0( x + 1 ) P ( x ) - ( x + 2 ) = 0의 근은 1,2,3,41 , 2 , 3 , 4이다. (x+1)P(x)−(x+2)=a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)⋯( x + 1 ) P ( x ) - ( x + 2 ) = a ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) \cdots(1) 식 (1)은 임의의 xx에 대하여 성립하는 항등식이므로 xx값에 −1- 1을 대입하면 −1=a⋅(−2)⋅(−3)⋅(−4)⋅(−5)- 1 = a \cdot ( - 2 ) \cdot ( - 3 ) \cdot ( - 4 ) \cdot ( - 5 ) ∴a=−1120\displaystyle \therefore a = - \frac{1}{120} 따라서, x=5x = 5인 경우 6P(5)−7=−1120⋅4⋅3⋅2⋅1\displaystyle 6 P ( 5 ) - 7 = - \frac{1}{120} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 ∴P(5)=1715\displaystyle \therefore P ( 5 ) = \frac{17}{15}

태그

#항등식#인수정리#삼차함수

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