삼차함수 대칭 적분

$f ( x ) = x ( x - p ) ( x - 6 )$ ($0 < p < 6$)으로 놓을 수 있다. 이 때, $k$의 값에 관계없이 $\displaystyle \int _{\alpha} ^{\gamma \left\{ f ( x ) + f ( x - k ) \right\}} dx = 0$이어야 하므로 $k = 0$일 때 두 함수 $y = f ( x )$, $y = - f ( x )$의 그래프의 교점은 $( 0 , 0 ) , ( p , 0 ) , ( 6 , 0 )$이다. 따라서 $\displaystyle \int _{\alpha} ^{\gamma} \left\{ f ( x ) + f ( x ) \right\} dx = 2 \int _{0} ^{6} f ( x ) dx = 0$이다. 즉, $f ( x ) = x ( x - p ) ( x - 6 )$는 점$( p , 0 )$에 대하여 대칭이다. $x ( x - p ) ( x - 6 ) = - ( 2 p - x ) ( 2 p - x - p ) ( 2 p - x - 6 )$ $= ( x - 2 p + 6 ) ( x - p ) ( x - 2 p )$ $\therefore$ $- 2 p + 6 = 0$ $\therefore$ $p = 3$ $f ( x ) = x ( x - 3 ) ( x - 6 )$이고, $x = 4$에서 두 곡선이 만나므로 $f ( 4 ) = - f ( 4 - k )$ $4 ( 4 - 3 ) ( 4 - 6 ) = - ( 4 - k ) ( 4 - k - 3 ) ( 4 - k - 6 )$ $= ( 4 - k ) ( 1 - k ) ( 2 + k )$ ∴ $k = 2$ ∴ $\displaystyle \int _{0} ^{k} f ( x ) dx = \int _{0} ^{2} x ( x - 3 ) ( x - 6 ) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} ( x ^{3} - 9 x ^{2} + 18 x ) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{x ^{4}}{4} - 3 x ^{3} + 9 x ^{2} \right] _{0} ^{2}$$= 16$