삼차함수 변곡점과 접선 보기

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 ㄱ. $f ( x ) = px ^{3} + qx ^{2} + rx ( p > 0 )$라 하고 $g ( x ) = mx$$( m \ne 0 )$라 하자. 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = f ( x ) - g ( x )$의 변곡점의 $x$좌표는 $\displaystyle - \frac{q}{3 p}$이므로 곡선 $y = f ( x ) - g ( x )$의 변곡점의 $x$좌표는 $a$이다. (참) ㄴ. 그림과 같이 함수 $y = f ( x ) - g ( x )$의 그래프는 원점을 지나고 $x = b$에서 $x$축에 접하므로 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = px ( x - b ) ^{2}$이다.

$\left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} {'} = p ( x - b ) ( 3 x - b )$이므로 함수 $f ( x ) - g ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{b}{3}$에서 극댓값을 갖는다. (참) ㄷ. $h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = px ( x - b ) ^{2}$ 이라 하면 ㄱ 에서 $h'' ( a ) = 0$이다. $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{2 b}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{b - a}{a} = \frac{1}{2}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ