삼차함수 보기

[출제의도] 삼차함수의 그래프의 특징을 이용하여 명제의 참, 거짓을 구할 수 있는가? ㄱ. $f ( x ) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d \left( a \ne 0 \right)$라고 하면 $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$이므로 $f' \left( - 3 \right) = f' \left( 3 \right)$에서 $b = 0$이고 $x = \mathit{-} 2$에서 극댓값을 가지므로 $f' \left( - 2 \right) = 12 a + c = 0$에서 $c = \mathit{-} 12 a$이다. 따라서, $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$$= 3 ax ^{2} - 12 a \left( a > 0 \right)$ 이므로 $f' \left( x \right)$는 $x = 0$에서 최솟값을 갖는다. (참) ㄴ. $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} - 12 a = 3 a \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right)$ 이고 조건 (가)에 의하여 삼차함수 $f ( x )$는 $x = 2$에서 극솟값을 갖는다. 따라서, 그림과 같이 방정식 $f ( x ) = f ( 2 )$는 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 $f ( x ) = ax ^{3} - 12 ax + d ( a > 0 )$ $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} - 12 a$ 이므로 점 $\left( - 1 , f ( - 1 ) \right)$에서의 접선의 방정식은 $y - \left( 11 a + d \right) = \mathit{-} 9 a \left( x + 1 \right)$ $y = \mathit{-} 9 ax + 2 a + d \cdots$ ㉠ ㉠에 점 $\left( 2 , f ( 2 ) \right)$ 즉, $\left( 2 , - 16 a + d \right)$를 대입하면 등식이 성립하므로 점 $\left( - 1 , f ( - 1 ) \right)$에서의 접선의 방정식은 점 $\left( 2 , f ( 2 ) \right)$를 지난다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.