사인곡선 접선 넓이

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 $f' \left( x \right) = \cos x$이므로 점 $\mathrm{P}$에서 그은 접선 $l$의 방정식은 $y = \cos a \left( x - a \right) + \sin a$이다. 직선 $l$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 점 $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( a - \frac{\sin a}{\cos a} , 0 \right)}$이고, 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$라 하면 점 $\mathrm{R} \left( \mathit{a} , 0 \right)$이다.

그림과 같이 곡선 $y = \sin x$와 $x$축 및 직선 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{1}$, 곡선 $y = \sin x$와 $x$축 및 직선 $x = a$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{2}$라 하면 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times \frac{\sin a}{\cos a} \times \sin a - \int _{0} ^{a} {\sin x} dx$ $\displaystyle S _{2} = \int _{0} ^{a} {\sin x} dx$ $S _{1} = S _{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{\sin a}{\cos a} \times \sin a - \int _{0} ^{a} {\sin x} dx = \int _{0} ^{a} {\sin x} dx$ $\displaystyle \frac{\sin ^{2} a}{2 \cos a} = 2 \int _{0} ^{a} {\sin x} dx$ $\displaystyle \frac{1 - \cos ^{2} a}{2 \cos a} = 2 \left[ - \cos x _{{} _{}} ^{{} ^{}} \right] _{0} ^{a}$ $3 \cos ^{2} a - 4 \cos a + 1 = \left( 3 \cos a - 1 \right) \left( \cos a - 1 \right) = 0$ $\displaystyle 0 < a < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \cos a = \frac{1}{3}$