사각형 제곱 합 관계 증명

다음은 「사각형 $\mathrm{ABCD}$의 두 대각선 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$의 중점을 각각 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} + \overline{\mathrm{CD}} ^{2} + \overline{\mathrm{DA}} ^{2} = \overline{\mathrm{AC}} ^{2} + \overline{\mathrm{BD}} ^{2} + 4 \overline{\mathrm{MN}} ^{2}$ 이다.」를 좌표를 이용하여 증명한 것이다.

그림과 같이 점 $\mathrm{M}$을 원점, 점 $\mathrm{N}$이 $x$축 위에 오도록 좌표평면을 잡아 $\mathrm{N} ( d , 0 )$ (단, $d \geq 0$)이라 하자. 점 $\mathrm{M}$이 대각선 $\mathrm{AC}$의 중점이므로 $\mathrm{A} ( a , b )$라 하면 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 (가) 이고, 점 $\mathrm{N}$이 대각선 $\mathrm{BD}$의 중점이므로 $\mathrm{D} ( d - p , - q )$라 하면 $\mathrm{B} ( d + p , q )$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{CD}} ^{2} = ( d + p - a ) ^{2} + ( q - b ) ^{2} + ( d - p + a ) ^{2} + ( b - q ) ^{2} = 2 d ^{2} + 2 ( p - a ) ^{2} + 2 ( q - b ) ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} ^{2} + \overline{\mathrm{DA}} ^{2} = ( d + p + a ) ^{2} + ( q + b ) ^{2} + ( d - p - a ) ^{2} + ( q + b ) ^{2} = 2 d ^{2} + 2 ( p + a ) ^{2} + 2 ( q + b ) ^{2}$ 두 식을 더하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} + \overline{\mathrm{CD}} ^{2} + \overline{\mathrm{DA}} ^{2} =$ (나) $( a ^{2} + b ^{2} ) +$ (나) $( p ^{2} + q ^{2} ) + 4 d ^{2}$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} ^{2} =$ (나) $( a ^{2} + b ^{2} )$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} ^{2} =$ (나) $( p ^{2} + q ^{2} )$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}} ^{2} = d ^{2}$이므로 성질이 증명된다.

위의 (나)에 알맞은 수를 $k$라 하자. 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 6$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = 8$이고 두 대각선의 중점 사이의 거리가 $4$일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} + \overline{\mathrm{CD}} ^{2} + \overline{\mathrm{DA}} ^{2} = S$라 하자. $\displaystyle \frac{S}{k}$의 값을 구하시오. [4점]