사차함수와 연속함수 g

두 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\left\{ g \left( x \right) - x \right\} \left\{ g \left( x \right) - f \left( x \right) \right\} = 0$이므로 $g \left( x \right) = x$ 또는 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$ 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = 2$에서 연속이다. $g \left( 2 \right) = 2$ 또는 $g \left( 2 \right) = f \left( 2 \right)$에서 $f \left( 2 \right) \neq 2$이면 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = x$가 $x = 2$에서 만나지 않으므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2} = \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{x - 2}{x - 2} = 1$ 또는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2} = \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{f \left( x \right) - f \left( 2 \right)}{x - 2} = f' \left( 2 \right)$가 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $f \left( 2 \right) = 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f \left( x \right)}{x} = 1$에서 $f \left( 0 \right) = 0$, $f' \left( 0 \right) = 1$이므로 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( 0 , 0 \right)$에서의 접선의 방정식은 $y = x$이다. $h \left( x \right) = f \left( x \right) - x$라 하면 함수 $h \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이고 $h \left( 0 \right) = h' \left( 0 \right) = h \left( 2 \right) = 0$이므로 $h \left( x \right) = x ^{2} \left( x - 2 \right) \left( x - b \right) \left( b \right.$는 상수$\left. \right)$ $h \left( b \right) = 0$이므로 $f \left( b \right) = b$ (ⅰ) $0 \leq b \leq 2$일 때

조건 (나)에 의하여 $g \left( - 4 \right) = - g \left( 4 \right)$이므로 $g \left( 4 \right) = 4$, $g \left( - 4 \right) = - 4$ 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x \leq 0$ 또는 $x \geq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = x$이다. 이때 $x \geq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( - x \right) = - g \left( x \right)$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $b > 2$일 때

(ⅰ)과 같은 방법으로 함수 $g \left( x \right)$를 구하면 $x \leq 0$ 또는 $x \geq b$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = x$이다. $2 \leq x \leq b$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = x$이면 $x \geq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( - x \right) = - g \left( x \right)$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $2 \leq x \leq b$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$이다. 이때 $0 \leq x \leq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2} = f' \left( 2 \right)$가 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $0 \leq x \leq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = x$이다. $x \geq b$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( - x \right) = - g \left( x \right)$이므로 조건 (나)에 의하여 $b = 4$ $f \left( x \right) = x ^{2} \left( x - 2 \right) \left( x - 4 \right) + x$ $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} x & & \left( x < 2 \text{또는} x > 4 \right) \\ x ^{2} \left( x - 2 \right) \left( x - 4 \right) + x & & \left( 2 < x < 4 \right) \end{cases}$ 그러므로 $\displaystyle \frac{g \left( - 2 \right)}{g \left( 3 \right)} = \frac{- 2}{- 6} = \frac{1}{3}$ (ⅲ) $b < 0$일 때

(ⅱ)와 같은 방법으로 함수 $g \left( x \right)$를 구하면 $x \leq b$ 또는 $x \geq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = x$이고 $b < x < 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$이다. $- 2 \leq b < 0$이면 $x \geq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( - x \right) = - g \left( x \right)$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $b < - 2$ $x \geq - b$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( - x \right) = - g \left( x \right)$이므로 조건 (나)에 의하여 $b = - 4$ $f \left( x \right) = x ^{2} \left( x - 2 \right) \left( x + 4 \right) + x$ $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} x \leq - 4 \text{또는} x \geq 2 ) \\ x ^{2} \left( x - 2 \right) \left( x + 4 \right) + x & & \left( - 4 < x < 2 \right) \end{cases}$ 그러므로 $\displaystyle \frac{g \left( - 2 \right)}{g \left( 3 \right)} = \frac{- 34}{3} = - \frac{34}{3}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 $\displaystyle \frac{g \left( - 2 \right)}{g \left( 3 \right)}$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{1}{3} + \left( - \frac{34}{3} \right) = - 11$