사차함수와 합성 미분가능

[출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 조건을 만족시키는 함숫값에 관한 문제를 해결한다. 자연수 $k$에 대하여 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$의 미분가능성을 조사하므로 $k \geq 1$에서만 생각한다. 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 $( f \circ g ) ( x )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$의 미분가능성은 함수 $( f \circ g ) ( x )$의 부호가 바뀌는 $x$의 값에 대해서만 판단하면 된다. $\displaystyle g ( x ) = \frac{3 x}{e ^{x - 1}} + k = 3 xe ^{1 - x} + k$에서 $g' ( x )$$= 3 e ^{1 - x} - 3 xe ^{1 - x}$$= 3 ( 1 - x ) e ^{1 - x}$ 함수 $g ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면

이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {g ( x ) = \mathit{-} \infty}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {g ( x )} = k$ 이므로 곡선 $y = g ( x )$의 개형은 [그림 1]과 같다.

[그림 1]

함수 $f ( x )$는 조건 (가)에서 $f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} + ax + b )$($a$, $b$는 실수) 방정식 $f ( x ) = 0$이 허근을 가지면 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$이 허근을 가지므로 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + ax + b > 0$이다. 즉 $f ( x ) \geq 0$이므로 모든 자연수 $k$에 대하여 $( f \circ g ) ( x ) \geq 0$이다. 모든 자연수 $k$에 대하여 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 조건을 만족시키는 자연수 $k$의 개수가 $4$인 방정식 $f ( x ) = 0$은 허근을 갖지 않는다. 두 자연수 $\alpha$, $\beta$$( 1 \leq \alpha \leq \beta \leq 10 )$에 대하여 $f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} ( x - \alpha ) ( x - \beta )$ (ⅰ) $\alpha = \beta$인 경우 $f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} ( x - \alpha ) ^{2}$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $( x - \alpha ) ^{2} \geq 0$이므로 $f ( x ) \geq 0$ 따라서 $( f \circ g ) ( x ) \geq 0$이므로 모든 자연수 $k$에 대하여 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (ⅱ) $1 < \alpha < \beta$인 경우 곡선 $y = f ( x )$의 개형은 [그림 2]와 같다.

[그림 2]

(1) $k + 3 > \alpha$인 경우 [그림 3]에서 방정식 $g ( x ) = \alpha$를 만족시키는 $x < 1$인 실수 $x$를 $p$라 하자.

[그림 3]

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow p} {\frac{| ( f \circ g ) ( x ) | - | ( f \circ g ) ( p ) |}{x - p}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow p} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( p ) ) \right|}{g ( x ) - g ( p )} \times \frac{g ( x ) - g ( p )}{x - p} \right\}}$ 이때 $f ( g ( p ) ) = 0$이고, $x \rightarrow p -$이면 [그림 3]에서 $g ( x ) \rightarrow \alpha -$이므로 [그림 2]에서 $( f \circ g ) ( x ) \rightarrow 0 +$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow p -} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( p ) ) \right|}{g ( x ) - g ( p )} \times \frac{g ( x ) - g ( p )}{x - p} \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow p -} {\left\{ \frac{f ( g ( x ) ) - f ( g ( p ) )}{g ( x ) - g ( p )} \times \frac{g ( x ) - g ( p )}{x - p} \right\}}$ $= f' ( g ( p ) ) g' ( p )$ $= f' ( \alpha ) g' ( p )$ 한편, $f ( g ( p ) ) = 0$이고, $x \rightarrow p +$이면 [그림 3]에서 $g ( x ) \rightarrow \alpha +$이므로 [그림 2]에서 $( f \circ g ) ( x ) \rightarrow 0 -$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow p +} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( p ) ) \right|}{g ( x ) - g ( p )} \times \frac{g ( x ) - g ( p )}{x - p} \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow p +} {\left\{ - \frac{f ( g ( x ) ) - f ( g ( p ) )}{g ( x ) - g ( p )} \times \frac{g ( x ) - g ( p )}{x - p} \right\}}$ $= \mathit{-} f' ( g ( p ) ) g' ( p )$ $= \mathit{-} f' ( \alpha ) g' ( p )$ 이때 [그림 2], [그림 3]에서 $f' ( \alpha ) < 0$, $g' ( p ) > 0$ 이므로 $f' ( \alpha ) g' ( p ) < 0$ $f' ( \alpha ) g' ( p ) \ne \mathit{-} f' ( \alpha ) g' ( p )$ 이므로 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$는 $x = p$에서 미분가능하지 않다. (2) $k + 3 \leq \alpha$인 경우 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) \leq k + 3 \leq \alpha$이므로 [그림 2]에서 $( f \circ g ) ( x ) \geq 0$이다. 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 $k$의 개수가 $4$이려면 $4 \leq \alpha - 3 < 5$ $7 \leq \alpha < 8$ 이고, $\alpha$는 자연수이므로 $\alpha = 7$ $\alpha < \beta \leq 10$이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 $( \alpha , \beta )$는 $( 7 , 8 )$, $( 7 , 9 )$, $( 7 , 10 )$이다. (ⅲ) $1 = \alpha < \beta$인 경우 곡선 $y = f ( x )$의 개형은 [그림 4]와 같다.

[그림 4]

(1) $k + 3 > \beta$인 경우 [그림 5]에서 방정식 $g ( x ) = \beta$를 만족시키는 $x < 1$인 실수 $x$를 $q$라 하자.

[그림 5]

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow q} {\frac{| ( f \circ g ) ( x ) | - | ( f \circ g ) ( q ) |}{x - q}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow q} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( q ) ) \right|}{g ( x ) - g ( q )} \times \frac{g ( x ) - g ( q )}{x - q} \right\}}$ 이때 $f ( g ( q ) ) = 0$이고, $x \rightarrow q -$이면 [그림 5]에서 $g ( x ) \rightarrow \beta -$이므로 [그림 4]에서 $( f \circ g ) ( x ) \rightarrow 0 -$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow q -} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( q ) ) \right|}{g ( x ) - g ( q )} \times \frac{g ( x ) - g ( q )}{x - q} \right\}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow q -} {\left\{ - \frac{f ( g ( x ) ) - f ( g ( q ) )}{g ( x ) - g ( q )} \times \frac{g ( x ) - g ( q )}{x - q} \right\}}$ $= \mathit{-} f' ( g ( q ) ) g' ( q )$ $= \mathit{-} f' ( \beta ) g' ( q )$ 한편, $f ( g ( q ) ) = 0$이고, $x \rightarrow q +$이면 [그림 5]에서 $g ( x ) \rightarrow \beta +$이므로 [그림 4]에서 $( f \circ g ) ( x ) \rightarrow 0 +$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow q +} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( q ) ) \right|}{g ( x ) - g ( q )} \times \frac{g ( x ) - g ( q )}{x - q} \right\}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow q +} {\left\{ \frac{f ( g ( x ) ) - f ( g ( q ) )}{g ( x ) - g ( q )} \times \frac{g ( x ) - g ( q )}{x - q} \right\}}$ $= f' ( g ( q ) ) g' ( q )$ $= \mathit{f}' ( \beta ) g' ( q )$ 이때 [그림 4], [그림 5]에서 $f' ( \beta ) > 0$, $g' ( q ) > 0$ 이므로 $f' ( \beta ) g' ( q ) > 0$ $- \mathit{f}' ( \beta ) g' ( q ) \ne \mathit{f}' ( \beta ) g' ( q )$ 이므로 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$는 $x = q$에서 미분가능하지 않다. (2) $1 = \alpha < k + 3 \leq \beta$인 경우 [그림 6]에서 방정식 $g ( x ) = 1$을 만족시키는 실수 $x$가 오직 하나 존재하며 $x < 1$이다. 이 실수를 $r$라 하자.

[그림 6]

(ㄱ) $x < r$인 경우 [그림 6]에서 $x < r$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) < 1$이므로 [그림 4]에서 $( f \circ g ) ( x ) > 0$이다. 따라서 $x < r$인 모든 실수 $x$에 대하여 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$는 미분가능하다. (ㄴ) $x > r$인 경우 [그림 6]에서 $x > r$인 모든 실수 $x$에 대하여 $1 < g ( x ) \leq \beta$이므로 [그림 4]에서 $( f \circ g ) ( x ) \leq 0$이다. 따라서 $x > r$인 모든 실수 $x$에 대하여 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$는 미분가능하다. (ㄷ) $x = r$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow r} {\frac{| ( f \circ g ) ( x ) | - | ( f \circ g ) ( r ) |}{x - r}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow r} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( r ) ) \right|}{g ( x ) - g ( r )} \times \frac{g ( x ) - g ( r )}{x - r} \right\}}$ 이때 $f ( g ( r ) ) = 0$이고, $x \rightarrow r -$이면 [그림 6]에서 $g ( x ) \rightarrow 1 -$이므로 [그림 4]에서 $( f \circ g ) ( x ) \rightarrow 0 +$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow r -} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( r ) ) \right|}{g ( x ) - g ( r )} \times \frac{g ( x ) - g ( r )}{x - r} \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow r -} {\left\{ \frac{f ( g ( x ) ) - f ( g ( r ) )}{g ( x ) - g ( r )} \times \frac{g ( x ) - g ( r )}{x - r} \right\}}$ $= f' ( g ( r ) ) g' ( r )$$= f' ( 1 ) g' ( r )$$= 0$ 한편, $f ( g ( r ) ) = 0$이고, $x \rightarrow r +$이면 [그림 6]에서 $g ( x ) \rightarrow 1 +$이므로 [그림 4]에서 $( f \circ g ) ( x ) \rightarrow 0 -$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow r +} {\left\{ \frac{\left| f ( g ( x ) ) \right| - \left| f ( g ( r ) ) \right|}{g ( x ) - g ( r )} \times \frac{g ( x ) - g ( r )}{x - r} \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow r +} {\left\{ - \frac{f ( g ( x ) ) - f ( g ( r ) )}{g ( x ) - g ( r )} \times \frac{g ( x ) - g ( r )}{x - r} \right\}}$ $= \mathit{-} f' ( g ( r ) ) g' ( r )$$= \mathit{-} f' ( 1 ) g' ( r )$$= 0$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow r -} {\frac{| ( f \circ g ) ( x ) | - | ( f \circ g ) ( r ) |}{x - r}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow r +} {\frac{| ( f \circ g ) ( x ) | - | ( f \circ g ) ( r ) |}{x - r}}$ 이므로 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$는 $x = r$에서 미분가능하다. 즉, $1 = \alpha < k + 3 \leq \beta$일 때 실수 전체의 집합에서 함수 $\left| ( f \circ g ) ( x ) \right|$가 미분가능하도록 하는 자연수 $k$의 개수가 $4$이려면 $4 \leq \beta - 3 < 5$, $7 \leq \beta < 8$ 이고, $\beta$는 자연수이므로 $\beta = 7$이다. $\alpha = 1$이므로 순서쌍 $( \alpha , \beta )$는 $( 1 , 7 )$이다. (3) $k + 3 \leq 1 = \alpha$인 경우 조건을 만족시키는 자연수 $k$가 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 자연수 $k$의 개수가 $4$가 되도록 하는 순서쌍 $( \alpha , \beta )$는 $( 7 , 8 )$, $( 7 , 9 )$, $( 7 , 10 )$, $( 1 , 7 )$이다. 함수 $f ( x )$에 대하여 $f ( 0 ) = \alpha \beta$이므로 $f ( 0 )$은 순서쌍 $( \alpha , \beta )$가 $( 7 , 10 )$일 때 최댓값 $70$, $( 1 , 7 )$일 때 최솟값 $7$을 갖는다. 따라서 $f ( 0 )$의 최댓값과 최솟값의 합은 $70 + 7 = 77$