사차함수 실근 개수

방정식 $g ( x ) = 0$에서 $x = t$일 때 $f \left( t \right) - t - f \left( t \right) + t = 0$이므로 $g \left( t \right) = 0$ $x \neq t$일 때 $f \left( x \right) - x - f \left( t \right) + t = 0$에서 $\displaystyle \frac{f \left( x \right) - f \left( t \right)}{x - t} = 1$이다. 그러므로 함수 $h ( t )$는 곡선 $y = f ( x )$ 위의 한 점 $( t , f ( t ) )$를 지나고 기울기가 $\mathrm{1}$인 직선 $l$과 곡선 $y = f ( x )$의 교점의 개수이다. 임의의 실수 $s$에 대하여 $h ( s ) \geq 1$이다. (ⅰ) $h ( s ) = 1$인 경우

(ⅱ) $h ( s ) = 2$인 경우

(ⅲ) $h ( s ) \geq 3$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow s} {} h ( t ) = 4$이거나 극한값이 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $l$이 두 점 $( - 1 , f ( - 1 ) )$, $( 1 , f ( 1 ) )$에서 접할 때 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 1} {} \left\{ h \left( t \right) - h \left( - 1 \right) \right\} = \lim\limits _{t \rightarrow 1} {} \left\{ h \left( t \right) - h \left( 1 \right) \right\} = 2$를 만족시킨다.

함수 $f ( x )$의 최고차항의 계수를 $a$, 직선 $l$의 방정식을 $y = x + b$라 하자. (단, $a$, $b$는 상수) $f \left( x \right) - \left( x + b \right) = a \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x + 1 \right) ^{2}$ $f \left( x \right) = a \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x + 1 \right) ^{2} + x + b$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{\alpha} {} \left\{ f \left( x \right) - \left| f \left( x \right) \right| \right\} dx = 0$을 만족시키는 실수 $\alpha$의 최솟값이 $\mathrm{-} 1$이므로 $- 1 \leq x \leq 0$에서 $f ( x ) \geq 0$, $f ( - 1 ) \geq 0$ $f ( - 1 ) > 0$이면 실수 $\alpha$의 최솟값이 $\mathrm{-} 1$이 아니므로 $f ( - 1 ) = 0$ $f \left( - 1 \right) = - 1 + b = 0$, $b = 1$ $f \left( x \right) = a \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x + 1 \right) ^{2} + x + 1$ 조건 (다)에서 $\displaystyle \frac{d}{dx} \int _{0} ^{x} {} \left\{ f \left( u \right) - ku \right\} du = f \left( x \right) - kx \geq 0$ $f \left( x \right) \geq kx$이므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = k x$가 접하거나 만나지 않는다. 실수 $k$의 최댓값이 $\displaystyle f' \left( \sqrt{2} \right)$이므로 그림과 같이곡선 $y = f ( x )$와 직선 $\displaystyle y = f' \left( \sqrt{2} \right) x$가 점 $\displaystyle ( \sqrt{2} , f ( \sqrt{2} ) )$에서 접한다.

$f ( x )$$= a ( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2} + x + 1$$= ax ^{4} - 2 ax ^{2} + x + a + 1$ $f' \left( x \right) = 4 ax ^{3} - 4 ax + 1$ $\displaystyle f \left( \sqrt{2} \right) = 4 a - 4 a + \sqrt{2} + a + 1 = a + \sqrt{2} + 1$ $\displaystyle f' \left( \sqrt{2} \right) = 8 \sqrt{2} a - 4 \sqrt{2} a + 1 = 4 \sqrt{2} a + 1$ $\displaystyle f \left( \sqrt{2} \right) = f' \left( \sqrt{2} \right) \times \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle a + \sqrt{2} + 1$$\displaystyle = \left( 4 \sqrt{2} a + 1 \right) \times \sqrt{2}$$\displaystyle = 8 a + \sqrt{2}$ $\displaystyle a = \frac{1}{7}$, $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{7} ( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2} + x + 1$ 따라서 $\displaystyle f ( 6 ) = \frac{1}{7} \times 5 ^{2} \times 7 ^{2} + 6 + 1 = 182$