사차함수 미분가능성

$f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이므로 $f \left( x \right) = x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$라 하면 $f' \left( x \right) = 4 x ^{3} + 3 ax ^{2} + 2 bx + c$이다. (가)에서 방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 실근이 $1$, $4$뿐이므로 $f' \left( x \right) = 4 ( x - 1 ) ( x - 4 ) ^{2}$이거나 $f' \left( x \right) = 4 ( x - 1 ) ^{2} ( x - 4 )$이다. (ⅰ) $f' \left( x \right) = 4 ( x - 1 ) ( x - 4 ) ^{2}$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f \left( x \right)$의 그래프의 개형과 실수 $t$에 대한 함수 $g \left( t \right)$의 값은 그림과 같다.

$y = f \left( x \right)$ $g \left( t \right) = 2$ $t < f \left( 1 \right)$ $t = f \left( 1 \right)$ $f \left( 1 \right) < t < f \left( 4 \right)$ $t = f \left( 4 \right)$ $t > f \left( 4 \right)$ $g \left( t \right) = 1$ $g \left( t \right) = 2$ $g \left( t \right) = 0$ $g \left( t \right) = 0$

함수 $g \left( t \right)$는 $t = f \left( 1 \right)$, $t = f \left( 4 \right)$에서 불연속이므로 (나)에 의하여 $f \left( 1 \right) = \mathit{-} 25$, $f \left( 4 \right) = 2$이다. 따라서 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$y = f \left( x \right)$

이때 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 두 실근이 모두 $4$보다 작으므로 (다)를 만족시키지 못한다. (ⅱ) $f' \left( x \right) = 4 ( x - 1 ) ^{2} ( x - 4 )$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f \left( x \right)$의 그래프의 개형과 실수 $t$에 대한 함수 $g \left( t \right)$의 값은 그림과 같다.

$y = f \left( x \right)$ $g \left( t \right) = 2$ $t < f \left( 4 \right)$ $t = f \left( 4 \right)$ $f \left( 4 \right) < t < f \left( 1 \right)$ $t = f \left( 1 \right)$ $t > f \left( 1 \right)$ $g \left( t \right) = 1$ $g \left( t \right) = 2$ $g \left( t \right) = 0$ $g \left( t \right) = 0$

함수 $g \left( t \right)$는 $t = f \left( 4 \right)$, $t = f \left( 1 \right)$에서 불연속이므로 (나)에 의하여 $f \left( 1 \right) = 2$, $f \left( 4 \right) = \mathit{-} 25$이다. 따라서 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$y = f \left( x \right)$

이때 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 $4$보다 큰 실근을 갖는다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f' \left( x \right)$$= 4 \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - 4 \right)$ $= 4 x ^{3} - 24 x ^{2} + 36 x - 16$ $\therefore$ $a = \mathit{-} 8$, $b = 18$, $c = \mathit{-} 16$ 또한 $f \left( 1 \right) = 2$이므로 $d = 7$ 따라서 $f \left( x \right) = x ^{4} - 8 x ^{3} + 18 x ^{2} - 16 x + 7$이므로 $f \left( - 1 \right) = 50$