사차함수 미분가능

[출제의도] 함수의 그래프, 방정식, 미분가능성 등을 활용하여 함수를 추론하고 이완 관련된 함숫값의 최댓값을 구할 수 있다. (가)를 만족시키는 최고차항의 계수가 음수인 사차함수 $f ( x )$는 $f ( x ) = ax ^{2} \left( x - 2 \right) ( x - 3 )$ 또는 $f ( x ) = ax \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - 3 \right)$ 또는 $f ( x ) = ax \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) ^{2}$ (단, $a < 0$) 이다. $x = 1$일 때, 함숫값 $f ( 1 )$은 $f ( 1 ) = 2 a$ 또는 $f ( 1 ) = \mathit{-} 2 a$ 또는 $f ( 1 ) = \mathit{-} 4 a$ 따라서 $f ( 1 )$의 최댓값은 $- 4 a$이므로 $f ( x ) = ax \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) ^{2}$이다. 그런데, $x \leq 0$ 또는 $x \geq 2$일 때, $g ( x ) = f ( x )$이므로 함수 $g ( x )$가 실수 전체에서 미분가능하려면 $g ( x )$는 $x = 0$과 $x = 2$에서 미분가능해야 한다. 이때, $f' \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) ^{2} + ax \left( x - 3 \right) ^{2} + 2 ax ( x - 2 ) \left( x - 3 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {g' \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {f' \left( x \right) = \mathit{-} 18 a}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {g' \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {f' \left( x \right) = 2 a}}$ 이고 $h ( x ) = x \left( x - 2 \right) ( x - 3 )$이라 하면 $h' \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) + x \left( x - 3 \right) + x \left( x - 2 \right)$ $h' \left( 0 \right) = 6 , h' \left( 2 \right) = \mathit{-} 2$이다. 또한, $0 \leq x \leq 2$에서 두 함수 $y = f ( x )$와 $y = h ( x )$의 그래프는 $x = 0 , x = 2$에서만 만나야 하므로 $x = 0$ 또는 $x = 2$에서 서로 접해야 한다. (ⅰ) $x = 0$에서 접할 때, $- 18 a = 6$에서 $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \mathit{-} \frac{1}{3} x \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) ^{2}$ $\displaystyle f ( 1 ) = \frac{4}{3}$ 또한, $0 \leq x \leq 2$에서 $f ( x ) \leq h ( x )$이므로 $g ( x ) = f ( x )$ 즉, $g ( x )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅱ) $x = 2$에서 접할 때, $- 2 a = 2$에서 $a = \mathit{-} 1$이므로 $f ( x ) = \mathit{-} x \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) ^{2}$ $f ( 1 ) = 4$ 또한, $0 \leq x \leq 2$에서 $h ( x ) \leq f ( x )$이므로 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} f ( x ) & \left( x < 0 \right) \\ h ( x ) & \left( 0 \leq x < 2 \right) \\ f ( x ) & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$ 그런데, $\displaystyle g' \left( x \right) = {\begin{cases} f' \left( x \right) & \left( x < 0 \right) \\ h' \left( x \right) & \left( 0 < x < 2 \right) \\ f' \left( x \right) & \left( x > 2 \right) \end{cases}}$ 이므로 $x = 0$에서 $g ( x )$는 미분불가능이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f ( 1 )$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{4}{3}$이다.