사차함수 조건 결정

조건 (나)에서 집합 $\left\{ x | f \left( x \right) = k \right\}$의 원소의 개수가 $3$이상이 되도록 하는 실수 $k$의 값이 존재하므로 사차함수 $f \left( x \right)$는 극값을 $3$개 가진다. 조건 (가)에서 $f' \left( a \right) \leq 0$인 실수 $a$의 최댓값이 $2$이므로 $f' \left( 2 \right) = 0$이다. $f' \left( 1 \right) = 0$이므로 방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 다른 한 근을 $t$라 하면 함수 $y = f' \left( x \right)$의 개형은 다음 그림과 같다.

이때 $f \left( 0 \right) = 0$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 개형은 다음과 같다.

따라서 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{8}{3}$이 접하므로 방정식 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{8}{3}$을 만족하는 다른 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) \left( x - 2 \right) ^{2} + \frac{8}{3}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( 0 \right) = 0$이므로 ㉠에 대입하면 $\displaystyle 4 \alpha \beta + \frac{8}{3} = 0$ $\therefore$ $\displaystyle \alpha \beta = - \frac{2}{3}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $f' \left( x \right) = \left( x - \beta \right) \left( x - 2 \right) ^{2} + \left( x - \alpha \right) \left( x - 2 \right) ^{2}$$+ 2 \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) \left( x - 2 \right)$ $f' \left( 1 \right) = 0$이므로 $f' \left( 1 \right)$$= 1 - \beta + 1 - \alpha - 2 \left( 1 - \alpha - \beta + \alpha \beta \right)$ $= \alpha + \beta - 2 \alpha \beta$$\displaystyle = \alpha + \beta + \frac{4}{3} = 0$ $\therefore$ $\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{4}{3}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $\therefore$ $f \left( 3 \right)$$\displaystyle = \left( 3 - \alpha \right) \left( 3 - \beta \right) + \frac{8}{3}$ $\displaystyle = 9 - 3 \left( \alpha + \beta \right) + \alpha \beta + \frac{8}{3}$ $\displaystyle = 9 - 3 \times \left( - \frac{4}{3} \right) - \frac{2}{3} + \frac{8}{3}$ $\left( \because \text{㉡} , \text{㉢} \right)$ $= 15$