사차함수 적분 부등식

$\displaystyle \int _{x _{1}} ^{x _{2}} \left\{ f \left( t \right) - f \left( a \right) \right\} dt \geq \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f' \left( a \right) \left( t - a \right) dt$ $\displaystyle \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f \left( t \right) dt - \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f \left( a \right) dt \geq \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f' \left( a \right) \left( t - a \right) dt$ $\displaystyle \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f \left( t \right) dt \geq \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f' \left( a \right) \left( t - a \right) dt + \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f \left( a \right) dt$ $\displaystyle \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f \left( t \right) dt \geq \int _{x _{1}} ^{x _{2}} \left\{ f' \left( a \right) \left( t - a \right) + f \left( a \right) \right\} dt$이므로 $x _{1} \leq x _{2}$인 모든 실수 $x _{1}$, $x _{2}$에 대하여 $\displaystyle \int _{x _{1}} ^{x _{2}} f \left( t \right) dt \geq \int _{x _{1}} ^{x _{2}} \left\{ f' \left( a \right) \left( t - a \right) + f \left( a \right) \right\} dt$ 이려면 사차함수 $f \left( x \right)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq f' \left( a \right) \left( x - a \right) + f \left( a \right)$ 두 점 $\left( - 1 , f \left( - 1 \right) \right)$, $\left( 3 , f \left( 3 \right) \right)$을 지나는 직선의 방정식을 $y = mx + n \left( m , n \right.$은 상수$\left. \right)$라 하면 $\displaystyle m = \frac{f \left( 3 \right) - f \left( - 1 \right)}{3 - \left( - 1 \right)} = \frac{f \left( 3 \right) - f \left( - 1 \right)}{4}$ 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq f' \left( a \right) \left( x - a \right) + f \left( a \right)$를 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 범위가 $a \leq - 1$ 또는 $a \geq 3$이므로, $x = - 1$, $a = 3$일 때 $f \left( - 1 \right) \geq - 4 f' \left( 3 \right) + f \left( 3 \right)$ $\displaystyle \frac{f \left( 3 \right) - f \left( - 1 \right)}{4} \leq f' \left( 3 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $x = 3$, $a = - 1$일 때 $f \left( 3 \right) \geq 4 f' \left( - 1 \right) + f \left( - 1 \right)$ $\displaystyle f' \left( - 1 \right) \leq \frac{f \left( 3 \right) - f \left( - 1 \right)}{4}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $f' \left( - 1 \right) \leq m \leq f' \left( 3 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 함수 $g \left( x \right)$를 $g \left( x \right) = f \left( x \right) - \left( mx + n \right)$이라 하자. $g \left( a \right) = f \left( a \right) - ma - n$ $g' \left( x \right) = f' \left( x \right) - m$에서 $g' \left( a \right) = f' \left( a \right) - m$ 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq f' \left( a \right) \left( x - a \right) + f \left( a \right)$ $f \left( x \right) - \left( mx + n \right) \geq f' \left( a \right) \left( x - a \right) + f \left( a \right) - \left( mx + n \right)$ $f \left( x \right) - \left( mx + n \right) \geq \left\{ f' \left( a \right) - m \right\} \left( x - a \right) + \left\{ f \left( a \right) - ma - n \right\}$ 이므로 $g \left( x \right) \geq g' \left( a \right) \left( x - a \right) + g \left( a \right)$를 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 범위도 $a \leq - 1$ 또는 $a \geq 3$이다. $g \left( - 1 \right) = g \left( 3 \right) = 0$이므로 $g \left( x \right) \geq g' \left( - 1 \right) \left( x + 1 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ $g \left( x \right) \geq g' \left( 3 \right) \left( x - 3 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉤ ㉢에서 $g' \left( - 1 \right) \leq 0 \leq g' \left( 3 \right)$이므로 ㉣, ㉤에서 $x \leq - 1$ 또는 $x \geq 3$일 때 $g \left( x \right) \geq 0$ 구간 $\left( - \infty , - 1 \right]$에서 $g \left( x \right)$의 최솟값은 $g \left( - 1 \right) = 0$이고, 구간 $\left[ 3 , \infty \right)$에서 $g \left( x \right)$의 최솟값은 $g \left( 3 \right) = 0$이다. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $g \left( x \right)$는 최솟값을 가지고, 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) \geq g \left( c \right)$를 만족시키는 실수 $c$가 닫힌구간 $\left[ - 1 , 3 \right]$에 존재한다. $g \left( c \right)$가 극솟값이므로 $g' \left( c \right) = 0$이고 $g \left( x \right) \geq g \left( c \right) = g' \left( c \right) \left( x - c \right) + g \left( c \right)$ 실수 $a = c$가 $g \left( x \right) \geq g' \left( a \right) \left( x - a \right) + g \left( a \right)$를 만족시키므로 $c \leq - 1$ 또는 $c \geq 3$ 그러므로 $c = - 1$ 또는 $c = 3$ 즉 $g \left( - 1 \right) = g \left( 3 \right) = 0$, $g' \left( - 1 \right) = g' \left( 3 \right) = 0$이므로 $g \left( x \right) = \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) ^{2}$ $f \left( x \right) = \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) ^{2} + mx + n$ $f' \left( x \right) = 4 \left( x + 1 \right) \left( x - 3 \right) \left( x - 1 \right) + m$ $f \left( 1 \right) = 15$이므로 $16 + m + n = 15$ $m + n = - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉥ $f' \left( 1 \right) = 1$이므로 $m = 1$ $m = 1$을 ㉥에 대입하면 $n = - 2$ $f \left( x \right) = \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) ^{2} + x - 2$ 따라서 $f \left( 4 \right) = 27$