미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사차함수 대칭 변환

문제

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f ( x )$ 에 대하여 함수 $g ( x )$ 를 $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} {} ^{} {}^{} f ( x ) {} _{} {}_{} & {} ^{} {}^{} ( f ( x ) \geq a ) {} _{} {}_{} \\ {} ^{} {}^{} 2 a - f ( x ) {} _{} {}_{} & {} ^{} {}^{} ( f ( x ) < a ) {} _{} {}_{} \end{cases}$ ( $a$ 는 상수) 라 하자. 두 함수 $f ( x )$ , $g ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g ( x )$ 는 $x = 4$ 에서만 미분가능하지 않다. (나) 함수 $g ( x ) - f ( x )$ 는 $\displaystyle x = \frac{7}{2}$ 에서 최댓값 $2 a$ 를 가진다.

$\displaystyle f \left( \frac{5}{2} \right)$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{5}{4}$ ② $\displaystyle \frac{3}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{7}{4}$ ④ $2$ ⑤ $\displaystyle \frac{9}{4}$

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②

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해설

$y = 2 a - f ( x )$ 는 $y = f ( x )$ 을 $y = a$ 에 대하여 대칭이동한 것이다.

(가)에서 $f ( x ) = ( x - \alpha ) ^{3} ( x - 4 ) + a$ (나)에서 $f' ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2} ( 4 x - 14 )$ , $\displaystyle f \left( \frac{7}{2} \right) = 0$ 두 식으로부터 $\alpha = 2$ , $\displaystyle a = \frac{27}{16}$ 이다. $\therefore$ $\displaystyle f ( x ) = ( x - 2 ) ^{3} ( x - 4 ) + \frac{27}{16}$ , $\displaystyle f \left( \frac{5}{2} \right) = \frac{3}{2}$

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