미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

로그세제곱 접선 개수

문제

함수 $f ( x ) = a \left( \ln x \right) ^{3} \left( a \ne 0 \right)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \left| f ( x ) \right| & \left( x > 0 \right) \\ f ( - x ) & \left( x < 0 \right) \end{cases}}$ 이라 하자. 함수 $g ( x )$ 의 그래프에 기울기가 2인 서로 다른 접선을 3개만 그을 수 있을 때, $g ( e )$ 의 값은? [4점]

① $\displaystyle \frac{e ^{2}}{12}$ ② $\displaystyle \frac{e ^{2}}{6}$ ③ $\displaystyle \frac{e ^{2}}{4}$ ④ $\displaystyle \frac{e ^{2}}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5 e ^{2}}{12}$

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②

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해설

[출제의도] 도함수의 활용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $\displaystyle f' ( x ) = \frac{3 a ( \ln x ) ^{2}}{x}$ 이므로 $\displaystyle f'' ( x ) = \frac{3 a ( \ln x ) ( 2 - \ln x )}{x ^{2}}$ 이다. ⑴ $a > 0$ 일 때 $f' ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$0 +$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$e ^{2}$	$\cdots$	$\infty$
$f'' ( x )$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f' ( x )$	$\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$\displaystyle \frac{12 a}{e ^{2}}$	$\searrow$	양수

$\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} f ( x ) _{} & ( x \geq 1 ) \\ - f ( x ) _{} ^{} & ( 0 < x < 1 ) \\ f ( - x ) ^{} & ( x < 0 ) \end{cases}}$ 에서 $\displaystyle g' ( x ) = {\begin{cases} f' ( x ) _{} & ( x > 1 ) \\ - f' ( x ) _{} ^{} & ( 0 < x < 1 ) \\ - f' ( - x ) ^{} & ( x < 0 ) \end{cases}}$ 이므로 $g' ( x )$ 의 그래프 개형은 다음과 같다.

따라서 $g' ( x ) = 2$ 인 서로 다른 $x$ 가 $3$ 개 존재할 수 없다. ⑵ $a < 0$ 일 때 $,$ $f' ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$0 +$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$e ^{2}$	$\cdots$	$\infty$
$f'' ( x )$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f' ( x )$	$- \infty$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$\displaystyle \frac{12 a}{e ^{2}}$	$\nearrow$	$0$

$\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} - f ( x ) & ( x \geq 1 ) _{} \\ f ( x ) & ( 0 < x < 1 ) _{} ^{} \\ f ( - x ) & ( x < 0 ) ^{} \end{cases}}$ 에서 $\displaystyle g' ( x ) = {\begin{cases} - f' ( x ) & ( x > 1 ) _{} \\ f' ( x ) & ( 0 < x < 1 ) _{} ^{} \\ - f' ( - x ) & ( x < 0 ) ^{} \end{cases}}$ 이므로 $g' ( x )$ 의 그래프 개형은 다음과 같다.

따라서 $g' ( x ) = 2$ 인 서로 다른 $x$ 가 $3$ 개 존재하기 위해서는 $\displaystyle - \frac{12 a}{e ^{2}} = 2$ 여야 하므로 $\displaystyle a = - \frac{e ^{2}}{6}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle g ( e ) = \left| f ( e ) \right| = \left| - \frac{e ^{2}}{6} \right| = \frac{e ^{2}}{6}$

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