대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그함수 그래프와 사각형

문제

그림과 같이 두 함수 $y = \log _{2} x$ , $y = \log _{2} ( x - 2 )$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하자. 직선 $x = k$ ( $k > 0$ )이 두 함수 $y = \log _{2} x$ , $y = \log _{2} ( x - 2 )$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 라 하고, $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$ 라 하자. 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{PR}$ 의 중점일 때, 사각형 $\mathrm{ABQP}$ 의 넓이는? [3점]

① $\displaystyle \frac{3}{2}$ ② $2$ ③ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ④ $3$ ⑤ $\displaystyle \frac{7}{2}$

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③

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해설

$\mathrm{A} ( 1 , 0 )$ , $\mathrm{B} ( 3 , 0 )$ , ${\mathrm{P}} ( k , \log _{2} k )$ , ${\mathrm{Q}} ( k , \log _{2} ( k - 2 ) )$ 로부터 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{PR}$ 의 중점이므로 $2 \times \log _{2} ( k - 2 ) = \log _{2} k$ $\leftrightarrow$ $( k - 2 ) ^{2} = k$ ∴ $k = 4$ (∵ $k > 3$ ) $\mathrm{\square} ABQP = \triangle ARP - \triangle BRQ$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 - \frac{1}{2} \times 1 \times 1$ $\displaystyle = \frac{5}{2}$

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