대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그함수 치역

문제

정의역이 {x∣−1<x<1}\left\{ x | - 1 < x < 1 \right\}일 때, 함수 y=log⁡2001+x1−x\displaystyle y = \log \frac{2001 + x}{1 - x}의 치역은? [4점] ①{y∣y>1}\left\{ y | y > 1 \right\}②{y∣y>2}\left\{ y | y > 2 \right\}③{y∣y>3}\left\{ y | y > 3 \right\}④{y∣y>4}\left\{ y | y > 4 \right\}⑤실수 전체의 집합

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③

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해설

f(x)=2001+x1−x\displaystyle f ( x ) = \frac{2001 + x}{1 - x}로 놓으면 f(x)=−x+2001x−1=−(1+2002x−1)\displaystyle f ( x ) = - \frac{x + 2001}{x - 1} = - \left( 1 + \frac{2002}{x - 1} \right)=−2002x−1−1\displaystyle = - \frac{2002}{x - 1} - 1 이므로, y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 y=−2002x\displaystyle y = - \frac{2002}{x}의 그래프를 xx축의 방향으로 1만큼, yy축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 아래의 그림에서 −1<x<1- 1 < x < 1일 때, 10001000 20012001

f(x)>1000f ( x ) > 1000이므로 함수 y=log⁡f(x)y = \log f ( x )에서 log⁡f(x)>log⁡1000=3\log f ( x ) > \log 1000 = 3 따라서, 함수 y=log⁡f(x)y = \log f ( x )의 치역은 {y∣y>3}\left\{ y | y > 3 \right\}

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#로그함수#치역#유리함수

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