로그곡선 사각형 넓이

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 주어진 사각형의 넓이를 구한다. 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $a$라 하면 점 $\mathrm{A} ( \mathit{a} , 2 )$는 곡선 $y = \log _{2} 4 x$ 위의 점이므로 $2 = \log _{2} 4 a$ $a = 1$ 따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\mathrm{\left( 1 , 2 \right)}$ 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 $b$라 하면 점 $\mathrm{B} \left( \mathit{b} , 2 \right)$는 곡선 $y = \log _{2} x$ 위의 점이므로 $2 = \log _{2} b$ $b = 4$ 따라서 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{\left( 4 , 2 \right)}$ 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표를 $c$라 하면 점 $\mathrm{C} \left( \mathit{c} , k \right)$는 곡선 $y = \log _{2} 4 x$ 위의 점이므로 $k = \log _{2} 4 c$ $c = 2 ^{k - 2}$ 따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\mathrm{\left( \mathit{2} ^{k - 2} , k \right)}$ 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표를 $d$라 하면 점 $\mathrm{D} \left( \mathit{d} , k \right)$는 곡선 $y = \log _{2} x$ 위의 점이므로 $k = \log _{2} d$ $d = 2 ^{k}$ 따라서 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\mathrm{\left( \mathit{2} ^{k} , k \right)}$ 점 $\mathrm{E}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표와 같으므로 $4$이고, 점 $\mathrm{E}$가 선분 $\mathrm{CD}$를 $1 : 2$로 내분하므로 $4$$\displaystyle = \frac{1 \times 2 ^{k} + 2 \times 2 ^{k - 2}}{1 + 2}$ $\displaystyle = \frac{2 \times 2 ^{k - 1} + 2 ^{k - 1}}{3}$ $\displaystyle = \frac{3 \times 2 ^{k - 1}}{3}$ $= 2 ^{k - 1}$ $2 ^{2} = 2 ^{k - 1}$ $k - 1 = 2$ $k = 3$ 따라서 $\mathrm{C} \left( 2 , 3 \right)$, $\mathrm{D} \left( 8 , 3 \right)$, $\mathrm{E} \left( 4 , 3 \right)$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 3$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 6$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = 1$ 사각형 $\mathrm{ABDC}$의 넓이 $S$는 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\left( {\overline{AB}} + {\overline{CD}} \right)} \times {\overline{BE}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 3 + 6 \right) \times 1$ $\displaystyle = \frac{9}{2}$ 따라서 $12 S = 54$