미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선 접선과 삼각형

문제

그림과 같이 점 A(a,0)\mathrm{A} \left( \mathit{a} , 0 \right)에서 곡선 y=1+ln⁡xy = 1 + \ln x에 그은 접선이 yy축과 만나는 점을 P\mathrm{P}, 접점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 Q\mathrm{Q}에서 yy축에 내린 수선의 발을 R\mathrm{R}, △PQR\mathrm{\triangle} PQR의 넓이를 S(a)S ( a )라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, a<0a < 0) [3점]

<보 기>
ㄱ. PR‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = 1 ㄴ. lim⁡a→−0S(a)=12\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow - 0} {} S ( a ) = \frac{1}{2} ㄷ. lim⁡a→−∞S(a)a=1\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow - \infty} {} \frac{S ( a )}{a} = 1

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 접선의 방정식과 함수의 극한을 이용하는 여러 가지 성질을 알 수 있는가를 묻는 문제이다. 접점을 Q(t,1+ln⁡t)\mathrm{Q} ( \mathit{t} , 1 + \ln t )라 하면, 접선 ll의 방정식은 다음과 같다. l:y=1t(x−t)+1+ln⁡t=1tx+ln⁡t\displaystyle l : y = \frac{1}{t} ( x - t ) + 1 + \ln t = \frac{1}{t} x + \ln t 따라서 두 점 P,R\mathrm{P} , R의 좌표는 P(0,ln⁡t),R(0,1+ln⁡t)\mathrm{P} ( \mathit{0} , \ln t ) , \mathrm{R} ( \mathit{0} , 1 + \ln t )이다. ㄱ. PR‾=(1+ln⁡t)−ln⁡t=1\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = ( 1 + \ln t ) - \ln t = 1 (참) ㄴ. a=−tln⁡ta = - t \ln t에서 a→−0a \rightarrow - 0이면, t→1+0t \rightarrow 1 + 0이므로 lim⁡a→−0S(a)=lim⁡t→1+0t2=12\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow - 0} S ( a ) = \lim\limits _{t \rightarrow 1 + 0} \frac{t}{2} = \frac{1}{2}이다. (참) ㄷ. a=−tln⁡ta = - t \ln t에서 a→−∞a \rightarrow - \infty이면, t→+∞t \rightarrow + \infty이므로 lim⁡a→−∞S(a)a=lim⁡t→+∞t2−tln⁡t=lim⁡t→+∞−12ln⁡t=0\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow - \infty} \frac{S ( a )}{a} = \lim\limits _{t \rightarrow + \infty} \frac{\frac{t}{2}}{- t \ln t} = \lim\limits _{t \rightarrow + \infty} \frac{- 1}{2 \ln t} = 0이다. (거짓)

태그

#접선#로그함수#극한#보기

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